《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

13 (2025·无锡新吴区期中)如图,在Rt△ABC中,∠C= 30°,若△ABC≌△A′BC′,边AC和边A′C相交于点P,边AC和边BC′相交于Q,假设∠ABA′= θ(0＜θ＜60°),当△BPQ为等腰三角形时,则θ= 20°或40°.

答案： 20°或40°。

14 中考新考法 类比探究 如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
[问题思考]如图(1),若点D与点B重合时,求证：CE+CF= CD；
[类比探究]如图(2),若点D在边BC上,求证：CE+CF= CD；
[拓展归纳]如图(3),若点D在边BC的延长线上,则线段CE,CF与CD之间存在的数量关系是______.

[问题思考]
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = 60°,AB = BC.
∵△BEF是等边三角形，
∴BE = BF,∠EBF = 60°,
∴∠ABE + ∠EBC = ∠CBF + ∠EBC = 60°,
∴∠ABE = ∠CBF.
在△ABE和△CBF中，{EB = FB, ∠ABE = ∠CBF, AB = CB}
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴AE = CF,
∴CD = CB = CA = CE + AE = CE + CF,
∴CE + CF = CD.
[类比探究]如图，过点D作DG//AB交AC于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠ACB = 60°,
∵DG//AB,
∴∠GDC = ∠B = 60°,
∠DGC = ∠A = 60°,
∴∠GDC = ∠DGC = ∠DCG = 60°,
∴△CDG是等边三角形,
∴DG = DC = CG.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE = DF,∠EDF = 60°,
∴∠GDE + ∠EDC = ∠CDF + ∠EDC = 60°,
∴∠GDE = ∠CDF.
在△GDE和△CDF中，{GD = CD, ∠GDE = ∠CDF, DE = DF}
∴△GDE≌△CDF(SAS),
∴GE = CF,
∴CD = CG = CE + EG = CE + CF,
∴CE + CF = CD.
[拓展归纳]如图(3),若点D在边BC的延长线上,则线段CE,CF与CD之间存在的数量关系是CF = CD + CE.

答案： [问题思考]
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = 60°,AB = BC.
∵△BEF是等边三角形，
∴BE = BF,∠EBF = 60°,
∴∠ABE + ∠EBC = ∠CBF + ∠EBC = 60°,
∴∠ABE = ∠CBF.
在△ABE和△CBF中，{EB = FB, ∠ABE = ∠CBF, AB = CB}
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴AE = CF,
∴CD = CB = CA = CE + AE = CE + CF,
∴CE + CF = CD.
[类比探究]如图，过点D作DG//AB交AC于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠ACB = 60°,
∵DG//AB,
∴∠GDC = ∠B = 60°,
∠DGC = ∠A = 60°,
∴∠GDC = ∠DGC = ∠DCG = 60°,
∴△CDG是等边三角形,
∴DG = DC = CG.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE = DF,∠EDF = 60°,
∴∠GDE + ∠EDC = ∠CDF + ∠EDC = 60°,
∴∠GDE = ∠CDF.
在△GDE和△CDF中，{GD = CD, ∠GDE = ∠CDF, DE = DF}
∴△GDE≌△CDF(SAS),
∴GE = CF,
∴CD = CG = CE + EG = CE + CF,
∴CE + CF = CD.
[拓展归纳]CF = CD + CE

15 中考新考法 操作探究 (1)如图(1),在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论.
[尝试探究]
(2)点P是边AC上一动点,连接BP,以BP为边作等边三角形BPE,连接AE.
①判断△AEP的形状,并说明理由；
②求证：∠AEP= 2∠ABP.
[探究应用]
(3)若点P是直线AC上一动点,[尝试探究]中其他条件不变,若CB= 2,直接写出点E到点C的最小距离.

答案：
(1)BC与AB的数量关系是BC = $\frac{1}{2}$AB,证明如下：
设AB的中点D,连接CD,ED,如图
(1)所示,
在△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,
∴∠B = 60°.
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD = AD = BD = $\frac{1}{2}$AB,
∴△BCD是等边三角形,
∴CD = BC = BD,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB.
(2)①△AEP是等腰三角形,理由如下:
设AB的中点D,连接CD,ED,如图
(2)所示.
由
(1)知△BCD是等边三角形,
∴BD = BC,∠DBC = 60°,
∵△BPE是等边三角形,
∴EB = PB = EP,∠EBP = 60°,
∴∠EBP = ∠DBC = 60°,
∴∠EBD + ∠ABP = ∠ABP + ∠PBC,
∴∠EBD = ∠PBC.
在△EBD和△PBC中,{EB = PB, ∠EBD = ∠PBC, BD = BC}
∴△EBD≌△PBC(SAS),
∴∠EDB = ∠ACB = 90°,
∴ED⊥AB.
又点D是AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA = EB,
∴EA = EP,
∴△EAP是等腰三角形.
②设∠ABP = α,
∵∠EBP = 60°,
∴∠EBA = ∠EBP - ∠ABP = 60° - α.
∵EA = EB,
∴∠EAB = ∠EBA = 60° - α.
∵∠BAC = 30°,
∴∠EAP = ∠EAB + ∠BAC = 90° - α.
由
(2)①知,△EAP是等腰三角形,
∴∠EPA = ∠EAP = 90° - α,
∴∠AEP = 180° - 2∠EAP = 180° - 2(90° - α) = 2α,即∠AEP = 2∠ABP.
(3)1