《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

10 (2025·广东肇庆高要区期末)如图,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C,D,使BC= CD,再画出BM的垂线DE,使E在AC的延长线上,若BD= 10 m,DE= 12 m,CE= 13 m,则A,B两点的距离是(C).

A.5 m
B.10 m
C.12 m
D.13 m

答案： C

11 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
(1)如图(1),在△ABC中,∠B= 2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E. 求证：AE是△ABC的一条特异线；
(2)如图(2),若△ABC是特异三角形,∠A= 30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.

答案：
(1)
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA = EC,即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC = ∠C,
∴∠AEB = ∠EAC + ∠C = 2∠C.
又∠B = 2∠C,
∴∠AEB = ∠B,
∴△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条特异线.
(2)当BD是特异线时，
如图
(1)，若AB = BD = DC,则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 120° + 15° = 135°;
如图
(2)，若AD = AB,DB = DC,则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 75° + 37.5° = 112.5°;
如图
(3)，若AD = DB,DC = CB,则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + 60° = 90°(舍去);
当AD是特异线时，如图
(4)，若AB = BD,AD = DC,则∠ABC = 180° - 20° - 20° = 140°;
当CD为特异线时，不合题意.
综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.

12 跨学科 声音的产生 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其做了进一步的探究：如图(1),在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的. 如图,OA表示小球静止时的位置. 当小明用发声物体靠近小球时,如图(2),小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,过点C作CE⊥OA于点E,测得BD= 7 cm,OE= 7 cm. (图中的A,B,O,C在同一平面上),求证此时OB⊥OC.

答案：
∵BD⊥OA,CE⊥OA,
∴∠OEC = ∠ODB = 90°,
∴∠B + ∠BOD = 90°.
∵BD = 7cm,OE = 7cm,
∴BD = OE,
∴Rt△OBD≌Rt△COE(HL),
∴∠B = ∠COE,
∴∠COE + ∠BOD = 90°,
即∠BOC = 90°,
∴OB⊥OC.