《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

8 (2025·泰州海陵区期中)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D 是边 BC 上一点,DE⊥AB 于点 E,点 F 是线段 AD 的中点,连接 EF,CF.
(1)求证:EF= CF;
(2)若∠BAC= 30°,AD= 12,求 C,E 两点之间的距离.

答案：

(1)
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°.
　在Rt△AED和Rt△ACD中,
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD,CF=$\frac{1}{2}$AD,
∴EF=CF.
(2)如图,连接CE,由
(1),可得EF=AF=CF=$\frac{1}{2}$AD=6,
∴∠FEA=∠FAE,
　∠FCA=∠FAC,
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,
∴△EFC是等边三角形，
∴CE=EF=6,
∴C,E两点之间的距离是6.
　思路引导　本题主要考查直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形，求出∠EFC=60°是解题的关键.
　

9 (2024·常州期中)用两种方法证明“直角三角形 30°角所对的边是斜边的一半”.
已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°.
求证:CB= 1/2AB.

答案：
方法1:如图
(1),在AB上截取BE=BC,连接CE.
　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°−30°=60°.
　又BE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴BE=CE=BC,∠BCE=60°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=30°.
　又∠A=30°,
∴∠A=∠ACE,
∴AE=CE=BC,
∴AE=BE=BC,
∴CB=$\frac{1}{2}$AB.
　方法2:如图
(2),延长BC至点M,使CM=BC,连接AM.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACM=90°.
　在△ACM和△ACB中,$\left\{\begin{array}{l} CM=CB,\\ ∠ACM=∠ACB,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴△ACM≌△ACB(SAS),
∴AM=AB,∠MAC=∠BAC=30°,
∴∠MAB=60°,
∴△MAB是等边三角形，
∴AB=BM.
　又BM=CM+CB=2CB,
∴CB=$\frac{1}{2}$AB.
　

10 (2025·无锡江阴期中)如图(1),在锐角三角形 ABC 中,CD,BE 分别是边 AB,AC 上的高,M,N 分别是线段 BC,DE 的中点.
(1)求证:MN⊥DE.
(2)连接 DM,ME,猜想∠A 与∠DME 之间的关系,并证明你的猜想.
(3)当∠BAC 变为钝角时,如图(2),上述(1)与(2)中的结论是否都成立？若成立,直接回答,不需证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)如图
(1),连接DM,ME.
∵CD,BE分别是边AB,AC上的高，M是BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME.
　又N为DE中点,
∴MN⊥DE.
(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BMD+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°−2∠A.
(3)结论
(1)成立，结论
(2)不成立.理由如下:
　如图
(2),连接DM,ME.
　在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC =2(180°−∠BAC)=360°−2∠BAC,
∴∠DME=180°−(360°−2∠BAC)=2∠BAC−180°.