《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

5 (2024·苏州期末)如图,点 A,B,C,D 在同一直线上,AB= DC,EA= FD,∠A= ∠D,EC 与 FB 交于点 G.
(1)求证:△EAC≌△FDB;
(2)若∠A= 70°,∠F= 60°,求∠BGC 的度数.

答案： 5.
(1)
∵AB=DC,
∴AB+BC=CD+BC,
∴AC=BD.
在△EAC和△FDB中,{AE=DF,∠A=∠D,AC=DB}
∴△EAC≌△FDB(SAS).
(2)
∵△EAC≌△FDB,
∴∠E=∠F=60°,∠ACE=∠DBF,
∴∠ACE=180°−∠A−∠E=180°−70°−60°=50°,
∴∠DBF=50°,
∴∠BGC=180°−∠ACE−∠DBF=180°−50°−50°=80°.

6 角平分线模型 (2025·无锡江阴期中)在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,点 D 是 CB 延长线上一点,点 E 是线段 AB 上一点,连接 DE.AC= DE,BC= BE.
(1)求证:AB= BD;
(2)BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F,点 G 是线段 FB 延长线上一点,连接 DG,点 H 是线段 DG 上一点,连接 AH 交 BD 于点 K,连接 KG.当 KB 平分∠AKG 时,求证:AK= DG+KG.

答案：
6.
(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中,{AC=DE,BC=BE}
∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL),
∴AB=BD.
(2)如图,作BM平分∠ABD交AK于点M.

∵BM平分∠ABD,KB平分∠AKG,BF平分∠ABC,
∴∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,∠ABF=∠FBC=45°.
∵∠FBC=∠DBG=45°,
∴∠MBD=∠GBD.
在△BMK和△BGK中,{∠MBK=∠GBK,BK=BK,∠MKB=∠GKB}
∴△BMK≌△BGK(ASA),
∴BM=BG,MK=KG.
在△ABM和△DBG中,{AB=DB,∠ABM=∠DBG,BM=BG}
∴△ABM≌△DBG(SAS),
∴AM=DG.
∵AK=AM+MK,
∴AK=DG+KG.

7 一题多问 (2025·浙江宁波期中)(1)如图(1),在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠B= ∠D= 90°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且∠EAF= 1/2∠BAD.请直接写出线段 EF,BE,FD 之间的数量关系:______.
(2)如图(2),在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且∠EAF= 1/2∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程.
(3)在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F 分别是边 BC,CD 所在直线上的点,且∠EAF= 1/2∠BAD.请直接写出线段 EF,BE,FD 之间的数量关系:______.

答案：
7.
(1)EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.理由如下:
如图,延长EB到G,使BG=DF,连接AG.

∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG与△ADF中,{AB=AD,∠ABG=∠D,BG=DF}
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,
∴∠GAE=∠EAF.又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+FD.
(3)EF=BE−FD或EF=FD−BE或EF=BE+FD.