《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,∠C= 30°,AD⊥BC,BE平分∠ABC交AD于点E,EF//AC交BC于点F,下列结论不成立的是 (D)
A.∠ABD= ∠DAC
B.∠C= ∠BAD
C.AC= 2AD
D.AD= 2DF

答案： D

2. 如图,在△ABC中,AC= 8,点D,E分别在边BC,AC上,F是BD的中点.若AB= AD,EF= EC,则EF的长是(B)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B　提示:连接AF.因为AB=AD,F是BD 的中点,所以AF⊥BD,所以∠AFD=90°,所以∠EAF+∠C=90°,∠AFE+∠EFC=90°.因为EF=EC,所以∠EFC=∠C.所以∠EAF=∠AFE,所以EA=EF,所以EF=EA=EC=$\frac{1}{2}$AC=4.

3. 如图,已知∠MON= 30°,点$A_1,A_2,A_3,…$在射线ON上,点$B_1,B_2,B_3,…$在射线OM上$,△A_1B_1A_2,△A_2B_2A_3,△A_3B_3A_4,…$均为等边三角形.若$OA_1= 2,$则$△A_6B_6A_7$的边长为 (C)
A.16
B.32
C.64
D.128

答案： C　提示:因为△A₁B₁A₂为等边三角形,所以∠B₁A₁A₂=60°,A₁B₁=A₁A₂,所以∠A₁B₁O=∠B₁A₁A₂ - ∠MON=30°,所以∠A₁B₁O=∠MON,所以A₁B₁=OA₁,所以A₁B₁=A₁A₂=OA₁.同理可得A₂B₂=A₂A₃=OA₂=2OA₁,A₃B₃=A₃A₄=OA₃=2OA₂=2²·OA₁,A₄B₄=A₄A₅=OA₄=2OA₃=2³·OA₁,…,所以AₙBₙ=AₙAₙ₊₁=2ⁿ⁻¹·OA₁=2ⁿ,所以△A₆B₆A₇的边长A₆B₆=2⁶=64.

4. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°.若在BC或AC所在直线上取一点P,使△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P有 (B)


A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

答案：
B　提示:如图，符合条件的点P有6个.

5. (2025天津市期末)如图,在△ABC中,AB= AC,BC= 4,S△ABC= 14,AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上的一个动点,则△CDM周长的最小值为 (B)
A.7
B.9
C.12
D.14

答案： B　提示:如图，连接AM,AD.因为AB=AC,BC=4,D为边BC的中点,所以CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=2,AD⊥BC.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4AD=14$,所以AD=7.因为EF垂直平分AC,M为线段EF上的动点,所以AM=CM.因为AM+DM≥AD,所以CM+DM≥7,所以CM+DM+CD≥9,所以△CDM周长的最小值为9.

6. 如图,在边长为5的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB.将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M的运动过程中,线段HN长的最小值是 (A)
A.5/4
B.1
C.2
D.5/2

答案： A　提示:取BC的中点G,连接MG.易证△MBG≌△NBH,所以GM=HN.根据垂线段最短得,当MG⊥CH时,GM的长最短,即HN的长最短,此时∠BCH=30°,CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$,所以MG=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{5}{4}$,所以HN长的最小值是$\frac{5}{4}$.

7. 若等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°,则它的顶角的度数是______110°或70°.

答案： 110°或70°　提示:分2种情况讨论:如图1,当∠BAC是钝角时,根据题意,得AB=AC,∠AEH=∠ADH=90°,∠EHD=70°,所以∠BAC=∠EAD=360° - 90° - 90° - 70°=110°;如图2,当∠A是锐角时,根据题意,得AB=AC,∠CDA=∠BEA=90°,∠CHE=70°,所以∠DHE=110°,所以∠A=360° - 90° - 90° - 110°=70°.综上所述，该等腰三角形的顶角的度数为110°或70°.

8. 如图,在以AB为斜边的两个Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB= ∠ADB= 90°,CD= m,AB= 2m,则∠AEB= 120°.

答案： 120°　提示:如图，取AB的中点F,连接CF,DF.因为∠ACB=∠ADB=90°,所以CF=$\frac{1}{2}$AB=DF.又因为CD=m,AB=2m,所以CD=$\frac{1}{2}$AB,所以CF=DF=CD,所以△CDF是等边三角形,所以∠CFD=60°,所以∠AFC+∠BFD=120°.因为CF=BF,AF=DF,所以∠1=∠2,∠3=∠4.因为∠AFC=∠1+∠2,∠BFD=∠3+∠4,所以∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠AFC+$\frac{1}{2}$∠BFD=$\frac{1}{2}$(∠AFC+∠BFD)=60°,所以∠AEB=180° - (∠2+∠3)=120°.

9. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 4,D是边BC的中点,P是边AC上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ长的最小值是______1.

答案： 1　提示:如图，在CD的下方作等边三角形CDT.因为∠CDP=60° - ∠CDQ=∠TDQ,PD=QD,CD=TD,所以△CDP≌△TDQ(SAS),所以∠DTQ=∠DCP=90°.因为∠CTD=60°,所以∠CTQ=30°,所以点Q在射线TG上运动(T是定点，∠CTQ是定角),当CQ⊥TQ时,CQ的值最小,最小值为CH的长，且CH=$\frac{1}{2}$CT=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$BC=1.