《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 下列实数:$\frac {22}{7},-\sqrt {25},\sqrt [3]{9},\sqrt {1.44},\frac {π}{2},0.\dot {1}\dot {6},$-0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0).其中无理数有 (B)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B

2. 现有下列说法:①两个无理数的和必是无理数;②两个无理数的积必是无理数;③无理数包括正无理数、0、负无理数;④实数与数轴上的点是一一对应的.其中正确的有 (A)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A

3. 对于实数x,我们规定$[x]$表示不大于x的最大整数,如$[4]= 4,[\sqrt {3}]= 1,$$[-2.5]= -3$.现对82进行如下操作：$82→\frac {82}{\sqrt {82}}= 9→\frac {9}{\sqrt {9}}= 3→\frac {3}{\sqrt {3}}= 1$.这样对82只需进行3次操作后变为1,类似地,将121变为1的最少操作次数为 (C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

4. 已知M是满足不等式组$-\sqrt {3}＜a＜\sqrt {6}$的所有整数a的和,N是满足不等式$x≤\frac {\sqrt {37}-2}{2}$的最大整数x,则$M+N$的平方根为 (D)
A.1
B.2
C.±1
D.±2

答案： D 提示:因为$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{6}$,所以整数a的值可以为-1,0,1,2,则M=2.因为$6＜\sqrt{37}＜7$,所以$x\leqslant \frac{\sqrt{37}-2}{2}$的最大整数解为x=2,即N=2.所以M+N的平方根为$\pm 2$.

5. 已知$43^{2}= 1849,44^{2}= 1936,45^{2}= 2025,$$46^{2}= 2116$.若n为整数,且$n＜\sqrt {2026}＜$$n+1$,则n的值为45.

答案： 45 提示:因为2025＜2026＜2116,所以$45＜\sqrt{2026}＜46$,即$45＜\sqrt{2026}＜45+1$,所以n=45.

6. 如图,有一个半径为$\frac {1}{2}$个单位长度的圆,将圆上的点A放在原点,并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周,点A到达点$A'$的位置,则点$A'$表示的数为$-\pi$;若点B表示的数是$-\sqrt {10}$,则点B在点$A'$的左边(填“左边”或“右边”).

答案： $-\pi$ 左边

7. 定义[x]为不大于x的最大整数,如$[2]= 2,[\sqrt {3}]= 1,[4.1]= 4,$则满足$[\sqrt {n}]= 70$的n共有141个(n为正整数).

答案： 141 提示:由条件,得$70\leqslant \sqrt{n}＜71$,所以4900≤n＜5041,所以满足$[\sqrt{n}]=70$的n共有5040-4900+1=141个.

8. 若$\sqrt {20n}$是整数,则正整数n的最小值为5.

答案： 5 提示:若$\sqrt{20n}$是正整数,则20n一定是一个完全平方数.因为$20n=2^{2}× 5n$,所以正整数n的最小值为5.

9. 已知b,c为实数,若$a＞0,a^{2}-2ab+c^{2}= $$0,bc＞a^{2}$同时成立,则a,b,c按从小到大的顺序排列为$a＜c＜b$.

答案： $a＜c＜b$ 提示:因为$bc＞a^{2}＞0$,所以b,c同号.又因为$a^{2}-2ab+c^{2}=0$,$a＞0$,所以$a^{2}+c^{2}=2ab＞0$,所以b＞0,所以c＞0.由$(a-c)^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac=2ab-2ac=2a(b-c)\geqslant 0$,得$b-c\geqslant 0$.①当b-c＞0,即b＞c时,由$a^{2}-2ab+c^{2}=0$得$b=\frac{a^{2}+c^{2}}{2a}$.可得$\frac{a^{2}+c^{2}}{2a}\cdot c＞a^{2}$.所以$a^{2}c+c^{3}＞2a^{3}$,所以$a^{2}c-a^{3}＞a^{3}-c^{3}$,所以$a^{2}(c-a)＞(a-c)(a^{2}+ac+c^{2})$.因为a＞0,b＞0,c＞0,所以$c-a＞a-c$,所以2c＞2a,所以c＞a.②当b-c=0,即b=c时,因为$bc＞a^{2}$,所以$b^{2}＞a^{2}$,即b≠a.又因为$a^{2}-2ab+c^{2}=(a-b)^{2}=0$,所以a=b,与a≠b矛盾,所以b-c≠0.综上所述,$a＜c＜b$.

10. 把下列各数填入相应的横线上:$3\sqrt {2},-\frac {3}{2},\sqrt [3]{-8},0.5,2π,3.14159265,$$-|-\sqrt {25}|,1.103030030003...$(每两个3之间依次多一个0).
(1)有理数集合:$-\frac{3}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,0.5,3.14159265,$-|-\sqrt{25}|$.
(2)无理数集合:$3\sqrt{2}$,$2\pi$,1.103030030003…(每两个3之间依次多一个0).
(3)正实数集合:$3\sqrt{2}$,0.5,$2\pi$,3.14159265,1.103030030003…(每两个3之间依次多一个0).
(4)负实数集合:$-\frac{3}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,$-|-\sqrt{25}|$.

答案：
(1)$-\frac{3}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,0.5,3.14159265,$-|-\sqrt{25}|$
(2)$3\sqrt{2}$,$2\pi$,1.103030030003…(每两个3之间依次多一个0)
(3)$3\sqrt{2}$,0.5,$2\pi$,3.14159265,1.103030030003…(每两个3之间依次多一个0)
(4)$-\frac{3}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,$-|-\sqrt{25}|$

11. (2024梁溪区校级月考)已知a,b是有理数,x是无理数,如果$\frac {3ax^{2}-6ax-2018x+2×2018}{4bx^{2}-8bx+2017x-2×2017}$是有理数,求$\frac {a}{b}$的值.

答案： 解:因为$\frac{3ax^{2}-6ax-2018x+2× 2018}{4bx^{2}-8bx+2017x-2× 2017}=\frac{3ax(x-2)-2018(x-2)}{4bx(x-2)+2017(x-2)}=\frac{(x-2)(3ax-2018)}{(x-2)(4bx+2017)}$,x是无理数,所以x-2≠0,所以原式=$\frac{3ax-2018}{4bx+2017}$.因为$\frac{3ax-2018}{4bx+2017}$是有理数,设$\frac{3ax-2018}{4bx+2017}=m$,则$4bmx+2017m=3ax-2018$.整理,得$3a-4bm=\frac{2018+2017m}{x}$.因为m,a,b是有理数,x是无理数,所以$\left\lbrace\begin{align}&2018+2017m=0, \\&3a-4bm=0, \end{align}\right.$解得$m=-\frac{2018}{2017}$,$\frac{a}{b}=\frac{4m}{3}=-\frac{4× 2018}{3× 2017}=-\frac{8072}{6051}$.