《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

9. 在平面直角坐标系xOy中,P为一定点,点P和图形W的"旋转中点"定义如下:Q是图形W上任意一点,将点Q绕原点顺时针旋转90°,得到点Q',M为线段PQ'的中点,则称点M为点P关于图形W的"旋转中点".如图1,已知点A(0,4),B(-2,0),C(0,2).
(1) 在点H(0,3),G(1,1),N(2,2)中,点______(填字母)是点A关于线段BC的"旋转中点".
(2) 求点A关于线段BC的"旋转中点"的横坐标m的取值范围.

答案：

(1)H
(2)解:如图,将线段BC绕原点O顺时针旋转90°,得到线段B'C'.易知线段AC的中点为(0,3),线段AC'的中点为(1,2).当点Q'与点C'重合时,点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m = 1;当点Q'与点B'重合时,点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m = 0.综上所述,点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m的取值范围为0≤m≤1.

10. 在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿x轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1),把等边三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A'B'C',求点A的对应点A'的坐标.

答案： 解:过点A作AD⊥BC于点D.因为△ABC是等边三角形,点B( - 1,1),C( - 3, - 1),所以BD = 1,AB = 2,AD = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$,所以点A( - 2, - 1 - $\sqrt{3}$).根据题意,可得规律:当n为奇数时,第n次变换后的点A的对应点的坐标为(2n - 2,1 + $\sqrt{3}$);当n为偶数时,第n次变换后的点A的对应点的坐标为(2n - 2, - 1 - $\sqrt{3}$).所以把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C',此时点A的对应点A'的坐标是(16,1 + $\sqrt{3}$).

11. 对于平面直角坐标系中任一点(a,b),规定以下三种"变换":
①A(a,b)= (-a,b);②B(a,b)= (b,a);③C(a,b)= (-a,-b).例如:A[B(2,-3)]= A(-3,2)= (3,2).请回答下列问题.
(1) A[C(5,-3)]= (5,3)(填坐标).
(2) 通过以上变换得到的坐标叫作"对称"坐标,规定坐标可以进行如下运算:
(a,c)+(b,d)= (a+b,c+d),(a,c)-(b,d)= (a-b,c-d).
①计算:C[A(-3,-2)]+B[C(-1,-2)](结果用坐标表示).
②已知当(a,c)= (b,d)时,a= b且c= d.若"对称"坐标P(x,y)在第四象限,且满足A[B(2x,-kx)]-C[A(1+y,-2)]= C[B(ky-1,-1)]+A[C(y,x)],求满足条件的正整数k的值.
(1)(5,3)
(2)解:①C[A( - 3, - 2)] + B[C( - 1, - 2)] = C(3, - 2) + B(1,2) = ( - 3,2) + (2,1) = ( - 1,3).②原式左边 = A( - kx,2x) - C( - 1 - y, - 2) = (kx,2x) - (1 + y,2) = (kx - 1 - y,2x - 2),右边 = C( - 1,ky - 1) + A( - y, - x) = (1, - ky + 1) + (y, - x) = (1 + y,1 - ky - x),则(kx - 1 - y,2x - 2) = (1 + y,1 - ky - x),所以kx - 1 - y = 1 + y且2x - 2 = 1 - ky - x,解得 $\begin{cases} x = \frac{6 + 2k}{k^2 + 6}, \\ y = \frac{3k - 6}{k^2 + 6}. \end{cases}$ 因为点P(x,y)在第四象限,所以x ＞ 0,y ＜ 0,即 $\begin{cases} \frac{6 + 2k}{k^2 + 6} ＞ 0, \\ \frac{3k - 6}{k^2 + 6} ＜ 0, \end{cases}$ 解得 - 3 ＜ k ＜ 2,所以正整数k的值为1.

答案：
(1)(5,3)
(2)解:①C[A( - 3, - 2)] + B[C( - 1, - 2)] = C(3, - 2) + B(1,2) = ( - 3,2) + (2,1) = ( - 1,3).②原式左边 = A( - kx,2x) - C( - 1 - y, - 2) = (kx,2x) - (1 + y,2) = (kx - 1 - y,2x - 2),右边 = C( - 1,ky - 1) + A( - y, - x) = (1, - ky + 1) + (y, - x) = (1 + y,1 - ky - x),则(kx - 1 - y,2x - 2) = (1 + y,1 - ky - x),所以kx - 1 - y = 1 + y且2x - 2 = 1 - ky - x,解得 $\begin{cases} x = \frac{6 + 2k}{k^2 + 6}, \\ y = \frac{3k - 6}{k^2 + 6}. \end{cases}$ 因为点P(x,y)在第四象限,所以x ＞ 0,y ＜ 0,即 $\begin{cases} \frac{6 + 2k}{k^2 + 6} ＞ 0, \\ \frac{3k - 6}{k^2 + 6} ＜ 0, \end{cases}$ 解得 - 3 ＜ k ＜ 2,所以正整数k的值为1.