《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

11. 【提出问题】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行探究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,然后对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图 1,在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E= 90°,根据______,可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图 2,在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E 都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.
第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.
(3)在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E 都是锐角,请你用尺规作图在图 3 中作出△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等.
(4)∠B 还要满足什么条件,才可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论:在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,且∠B,∠E 都是锐角,若______,则△ABC≌△DEF.

答案：

(1)HL
(2)证明:过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H.因为∠ABC=∠DEF,所以180° - ∠ABC=180° - ∠DEF,即∠CBG=∠FEH.在△CBG和△FEH中,{∠CBG=∠FEH,∠CGB=∠FHE,BC=EF,所以△CBG≌△FEH.所以CG=FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中,{AC=DF,CG=FH,所以Rt△ACG≌Rt△DFH,所以∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,{∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.
(3)解:如图,以点C为圆心,AC的长为半径画弧,与AB相交于点D,点E与点B重合,点F与点C重合,得到△DEF和△ABC不全等.
　　　　　　
(4)∠B≥∠A(或AC≥BC)