《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD延长线上的点B'处,两条折痕与斜边AB分别交于点E,F,则线段B'F的长为(B)

A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： B 提示：根据勾股定理，得AB=√(AC²+BC²)=10.根据折叠的性质，可得CE⊥AB，B'F=BF，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B'CF.所以∠ECF=1/2∠ACB=45°，所以△ECF是等腰直角三角形.用等积法可求得CE=EF=24/5.根据勾股定理，得AE=18/5，所以B'F=BF=AB - AE - EF=8/5.

2. 若P是等边三角形ABC内一点,$PA^{2}+PB^{2}= PC^{2}$,且PC= 2PA,则∠BPC的度数为( )

A.75°
B.90°
C.120°
D.135°

答案：
B 提示：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°，使BA与BC重合，BP移至BM处，PA移至MC处，所以BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°.连接MP，则△BPM是等边三角形，所以PB=PM.因为PA²+PB²=PC²，所以MC²+PM²=PC²，所以△PMC是直角三角形，∠CMP=90°.因为PC=2PA，所以PC=2MC.取PC的中点G，连接MG，易证∠CPM=30°.又因为∠BPM=60°，所以∠BPC=90°.

3. 如图,已知直线a//b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB的长度是面积为120的正方形边长的长度.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小,则此时AM+NB等于( )


A.6
B.8
C.10
D.12

答案：
B 提示：如图，作M'N'⊥a，分别交a，b于点M'，N'，连接AM'并沿M'N'方向平移至A'N'，连接A'B交直线b于点N，过点N作NM⊥a于点M，则此时的M，N即为所要找的点.连接AM，易证△AMM'≌△A'NN'，则A'N=AM，AM'=A'N'.易知AA'=M'N'=4.所以AM+NB=A'N+NB=A'B（连接N'B，则AM'+N'B=A'N'+N'B≥A'B，当点N'与点N重合时取等号）.过点B作BE⊥AA'，交AA'的延长线于点E，易得AE=2 + 4 + 3=9，A'E=5.在Rt△AEB中，BE²=AB² - AE²=39.在Rt△A'EB中，A'B²=A'E²+BE²，解得A'B=8.

4. 如图,若AB= 5,AC= 3,边BC上的中线AD= 2,则△ABC的面积为6.

答案： 6 提示：延长AD至点E，使ED=AD，连接BE.因为D为BC的中点，所以DC=DB.在△ADC和△EDB中，{AD = ED，∠ADC = ∠EDB，DC = DB}，所以△ADC≌△EDB.所以EB=AC=3.又因为AE=2AD=4，AB=5，所以AB²=AE²+EB²，所以∠E=90°.所以S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△ABD+S△EDB=S△ABE=6.

5. 如图,E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE= 1,BE= 2,CE= 3,则∠BE'C= ______.

135°

答案： 135° 提示：连接EE'.根据旋转的性质，得∠EBE'=90°，BE'=BE=2，CE'=AE=1.所以△BEE'是等腰直角三角形，所以∠BE'E=45°.由勾股定理，得EE'²=8.因为EE'²+CE'²=CE²，所以∠EE'C=90°.所以∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=135°.

6. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,AB= 10,O是边AB的中点,P是射线AC上的一个动点,BQ//CA,交PO的延长线于点Q,OM⊥PQ交边BC于点M.当CP= 1时,BM的长为2.5或1.

答案： 2.5或1 提示：连接MQ，MP，设BM=x.由勾股定理，得BC=√(AB² - AC²)=8.当点P在线段AC上时，因为QB//AP，所以∠A=∠OBQ.易证△OAP≌△OBQ，所以QB=PA=5，OQ=OP.因为OM⊥PQ，所以MQ=MP，所以5²+x²=1²+(8 - x)²，解得x=2.5.当点P在AC的延长线上时，同理可得7²+x²=1²+(8 - x)²，解得x=1.综上所述，BM的长为2.5或1.

7. 在等腰三角形ABC中,AB= AC= 1,线段BC上有2025个不同的点$P_{1},P_{2},P_{3},…,P_{2025}$,记$m_{i}= AP_{i}^{2}+BP_{i}\cdot P_{i}C(i= 1,2,3,…,2025)$,则$m_{1}+m_{2}+m_{3}+… +m_{2025}= $2025.

答案： 2025 提示：过点A作AD⊥BC于点D.因为APᵢ²=AD²+PᵢD²=AD²+(BD - BPᵢ)²=AD²+BD² - 2BD·BPᵢ+BPᵢ²=1+BPᵢ(BPᵢ - BC)=1 - BPᵢ·PᵢC，所以mᵢ=APᵢ²+BPᵢ·PᵢC=1.所以m₁+m₂+…+m₂₀₂₅=2025.