《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

7. (2025无锡市宜兴市期末)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,0),点B在坐标轴上,点B绕点A顺时针旋转90°落在直线y= 1/2x+3上,则点B的坐标是.

答案：
(-1,0)或(0,-2) 提示:令点B旋转后的对应点为M.如图1,当点B在x轴上时,设点B坐标为(m,0),则AB=4 - m.由旋转的性质可知,AM=AB=4 - m,∠BAM=90°,所以点M坐标为(4,4 - m).将点M的坐标代入$y=\frac{1}{2}x+3$,得$4 - m=\frac{1}{2}×4+3$,解得m=-1,所以点B的坐标为(-1,0).如图2,当点B在y轴上时,过点M作x轴的垂线,垂足为N.由旋转的性质可知,∠BAM=90°,AB=AM.易证△BAO≌△AMN(AAS),所以AN=BO,MN=AO=4,所以点M纵坐标为4,代入$y=\frac{1}{2}x+3$,可得点M坐标为(2,4).所以AN=BO=2,所以点B的坐标为(0,-2).综上所述,点B的坐标为(-1,0)或(0,-2).

8. 如图,直线y= -x-4分别交x轴、y轴于点A,C,点B(0,2)在y轴上,连接AB,P为直线AB上一动点.若S△APC= S△AOC,则点P的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{4}{3})$.

答案： $(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{4}{3})$ 提示:易知点A(-4,0),直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$,点C(0,-4).因为$S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOC}$,所以点P到AC的距离等于点O到AC的距离,有以下2种情况:
过点O作直线$l_1// AC$,交直线AB于点$P_1$,则直线$l_1$的函数表达式为$y=-x$,此时,点$P_1$符合题意,联立,得$\begin{cases}y=-x,\\y=\frac{1}{2}x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{4}{3},\\y=\frac{4}{3}.\end{cases}$所以点$P_1(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$.
由对称性可知,直线$l_1$关于AC对称的直线$l_2$,或将直线AC向下平移4个单位长度,得到的直线$l_2$与AB的交点也符合题意.所以直线$l_2$的函数表达式为$y=-x-8$.联立,得$\begin{cases}y=-x-8,\\y=\frac{1}{2}x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{20}{3},\\y=-\frac{4}{3}.\end{cases}$所以点$P_2(-\frac{20}{3},-\frac{4}{3})$.
综上所述,满足题意的点P的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{4}{3})$.

9. (2025南京市鼓楼区期末)【新定义】
一次函数y= kx+b与一次函数y= -kx-b称为一对“和谐函数”(其中k,b为常数,k≠0).例如：y= 2x+1与y= -2x-1就是一对“和谐函数”.
【特殊化】
请以y= 2x+1与y= -2x-1这对“和谐函数”为例,完成以下两条结论：
(1)这对“和谐函数”图象的交点坐标是$(-\frac{1}{2},0)$.
(2)可以发现这对“和谐函数”图象成轴对称,它们的对称轴是x轴和直线$x=-\frac{1}{2}$.
【一般化】
(3)请尝试证明一般情况下一对“和谐函数”y= kx+b与y= -kx-b(其中k,b为常数,k≠0)的图象“成轴对称”的结论依然成立.
证明:由$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-kx-b\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k},\\y=0.\end{cases}$所以$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中k,b为常数,$k\neq0$)的图象交于x轴上一点.因为函数$y=kx+b$交y轴于点(0,b),函数$y=-kx-b$交y轴于点(0,-b),所以一对"和谐函数"$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中k,b为常数,$k\neq0$)的图象"成轴对称",对称轴为x轴和直线$x=-\frac{b}{k}.$

答案：
(1)$(-\frac{1}{2},0)$
(2)x轴和直线$x=-\frac{1}{2}$
(3)证明:由$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-kx-b\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k},\\y=0.\end{cases}$所以$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中k,b为常数,$k\neq0$)的图象交于x轴上一点.因为函数$y=kx+b$交y轴于点(0,b),函数$y=-kx-b$交y轴于点(0,-b),所以一对"和谐函数"$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中k,b为常数,$k\neq0$)的图象"成轴对称",对称轴为x轴和直线$x=-\frac{b}{k}.$

10. 在△ABC中,AB= AC,P为△ABC边上的动点,速度为1cm/s.如图1,D为边AB上一点,AD= 1cm,动点P从点D出发,在△ABC的边上沿D→B→C的路径匀速运动,当到达点C时停止运动.设△APC的面积为$S_1cm^2,△BPC$的面积为$S_2cm^2,$点P运动的时间为$t s.S_1,S_2$与t之间的函数关系如图2所示,请根据题意解答下列问题.
(1)在图1中,AB=5cm,BC=6cm.
(2)在图2中,求EF和MN的交点H的坐标.
点H的纵坐标的实际意义为$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}$.因为△APC与△BPC共顶点C,所以当AP=BP时,$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}$,此时$AP=BP=\frac{5}{2}\ \text{cm}$,$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.因为$DP=AP - AD=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}(\text{cm})$,所以$t=\frac{3}{2}÷1=\frac{3}{2}$.在题图1中,过点A作AK⊥BC于点K,则由勾股定理可知,AK=4 cm.所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=12\ \text{cm}^2$,所以$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}=6\ \text{cm}^2$,所以点$H(\frac{3}{2},6)$.
(3)如图3,若点P,Q同时从点A出发,在△ABC的边上沿A→B→C的路径匀速运动,点Q运动的速度为0.5cm/s,当点P到达点C时,点P与点Q同时停止运动,则当t为何值时,|BP-BQ|最大？最大值为多少？
当$0\leq t\leq5$时,点P,Q均在AB上,$|BP - BQ|=PQ=0.5t$,所以当t=5时,$|BP - BQ|$最大,最大值为2.5 cm.当$5 ＜ t\leq10$时,点Q在AB上,点P在BC上,$|BP - BQ|=|t - 5-(5 - 0.5t)|=|1.5t - 10|$,所以当t=10时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5 cm.当$10 ＜ t\leq11$时,点P,Q均在BC上,$|BP - BQ|=|t - 5-(0.5t - 5)|=0.5t$,所以当t=11时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5.5 cm.综上所述,当t=11时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5.5 cm.

答案：
(1)5 6
(2)点H的纵坐标的实际意义为$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}$.因为△APC与△BPC共顶点C,所以当AP=BP时,$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}$,此时$AP=BP=\frac{5}{2}\ \text{cm}$,$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.因为$DP=AP - AD=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}(\text{cm})$,所以$t=\frac{3}{2}÷1=\frac{3}{2}$.在题图1中,过点A作AK⊥BC于点K,则由勾股定理可知,AK=4 cm.所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AK=12\ \text{cm}^2$,所以$S_{\triangle APC}=S_{\triangle BPC}=6\ \text{cm}^2$,所以点$H(\frac{3}{2},6)$.
(3)当$0\leq t\leq5$时,点P,Q均在AB上,$|BP - BQ|=PQ=0.5t$,所以当t=5时,$|BP - BQ|$最大,最大值为2.5 cm.当$5 ＜ t\leq10$时,点Q在AB上,点P在BC上,$|BP - BQ|=|t - 5-(5 - 0.5t)|=|1.5t - 10|$,所以当t=10时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5 cm.当$10 ＜ t\leq11$时,点P,Q均在BC上,$|BP - BQ|=|t - 5-(0.5t - 5)|=0.5t$,所以当t=11时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5.5 cm.综上所述,当t=11时,$|BP - BQ|$最大,最大值为5.5 cm.