《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

14. 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素的影响,人体下落到水面所需要的时间$t与下落的高度h$之间应遵循下面的公式：$h= \frac{1}{2}gt^{2}$(其中$h$的单位是m,$t$的单位是s,$g取9.8\ \text{m/s}^{2}$).在一次三米板(跳板离水面的高度是3m)的训练中,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2m处下落,那么运动员在下落过程中最多有多长时间完成动作(精确到0.01s)？

答案： 解:设运动员在下落过程中最多有t s完成动作.根据题意,得3+1.2=(1/2)×9.8t²,整理,得t²=(2×4.2)/9.8≈0.8571,所以t≈0.93.答:运动员在下落过程中最多有0.93s完成动作.

15. 已知$A= \sqrt[m - n]{m + n + 3}$是$m + n + 3$的算术平方根,$B= \sqrt[m - 2n + 3]{m + 2n}$是$m + 2n$的立方根,求$B - A$的立方根.
解:因为A=√[(m-n)]{m+n+3}是m+n+3的算术平方根,所以m-n=2.因为B=√[(m-2n+3)]{m+2n}是m+2n的立方根,所以m-2n+3=3.所以联立得到方程组{m-n=2,m-2n+3=3,解得m=4,n=2.所以A=3,B=2,B-A=-1,所以B-A的立方根为-1.

答案： 解:因为A=√[(m-n)]{m+n+3}是m+n+3的算术平方根,所以m-n=2.因为B=√[(m-2n+3)]{m+2n}是m+2n的立方根,所以m-2n+3=3.所以联立得到方程组{m-n=2,m-2n+3=3,解得m=4,n=2.所以A=3,B=2,B-A=-1,所以B-A的立方根为-1.

16. 已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}= m且a + b + c= \sqrt{3m}(m＞0)$,求$\frac{a}{b}+\frac{3b}{c}+\frac{5c}{a}$的算术平方根.

答案： 解:将a+b+c=√(3m)两边同时平方,得(a+b+c)²=3m,所以a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=3m.因为a²+b²+c²=m,所以2ab+2bc+2ac=2m.所以2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0,即(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0,所以a=b=c.所以a/b+3b/c+5c/a=9,所以a/b+3b/c+5c/a的算术平方根为3.

17. 已知实数$a$,$b满足\sqrt{a^{2}-2a + 1}+\sqrt{36 - 12a + a^{2}}= 10 - |b + 3|-|b - 2|$,求$a^{2}+b^{2}$的最大值.

答案： 解:因为√(a²-2a+1)+√(36-12a+a²)=10-|b+3|-|b-2|,所以√[(a-1)²]+√[(a-6)²]=10-|b+3|-|b-2|.所以|a-1|+|a-6|+|b+3|+|b-2|=10.易证|a-1|+|a-6|≥5,|b+3|+|b-2|≥5,当且仅当1≤a≤6,-3≤b≤2时,两个等号分别成立.所以|a-1|+|a-6|=5且|b+3|+|b-2|=5,1≤a≤6,-3≤b≤2.所以当a=6,b=-3时,a²+b²取得最大值,最大值为36+9=45.