《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. [抽象能力]在等腰三角形ABC中,AB= AC,记AB= x,周长为y,定义(x,y)为这个三角形的坐标. 如图,直线y= 2x,y= 3x,y= 4x将第一象限划分为4个区域. 给出下面四个结论：①对于任意等腰三角形ABC,其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形ABC,其坐标可能位于区域Ⅳ中；③若△ABC是等腰直角三角形,则其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长. 其中正确结论的序号是(A)
A.①③
B.①③④
C.②④
D.①②③

答案： A 提示:设 BC=z,则 y=2x+z,x＞0,z＞0.因为 BC=z＞0,所以 y=2x+z＞2x,所以对于任意等腰三角形ABC,其坐标位于直线y=2x的上方,不可能位于区域Ⅰ中,故结论①正确;因为三角形任意两边之和大于第三边,所以2x＞z,即z＜2x,所以y=2x+z＜4x,所以对于任意等腰三角形ABC,其坐标位于直线y=4x的下方,不可能位于区域Ⅳ中,故结论②错误;因为△ABC是等腰直角三角形,则z = √2x,因为x＜√2x＜2x,所以3x＜2x+√2x＜4x,即3x＜y＜4x,所以若△ABC是等腰直角三角形,则其坐标位于区域Ⅲ中,故结论③正确;由题图可知,点M位于区域Ⅲ中,此时3x＜y＜4x,所以3x＜2x+z＜4x,所以x＜z＜2x,点N位于区域Ⅱ中,此时2x＜y＜3x,所以2x＜2x+z＜3x,所以0＜z＜x,但因为点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短,所以图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长,故结论④错误.

2. [推理能力]如图,在△ABC中,点E在边BC上,点D在边BA上,过点E作EF⊥AB于点F,∠B= ∠1+∠2,AE= CD,BF= 4/3,则AD的长为______.

答案：
$\frac{8}{3}$ 提示:如图,在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.易知EB=ET,所以∠B=∠ETB.因为∠ETB=∠1+∠AET,∠B=∠1+∠2,所以∠AET=∠2.因为AE=DC,ET=CK,所以△AET≌△DCK(SAS),所以DK=AT,∠ATE=∠DKC,所以∠ETB=∠DKB,所以∠B=∠DKB,所以DB=DK,所以DB=AT,所以AD=AB - DB=AB - AT=BT.因为BT=2BF=$\frac{8}{3}$,所以AD=$\frac{8}{3}$.

3. [几何直观](2025连云港市期末)阅读下面的文字,解答问题：
如图1,把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就可以得到一个面积为$2dm^2$的大正方形,试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为$2dm^2$的大正方形的边长就是原来边长为1dm的小正方形的对角线长,因此,可得小正方形的对角线长为______dm；如图2,数轴上点A表示的数是______.
(2)观察图3,每个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分(正方形)的边长是______.




(3)如图4,利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点P(保留作图痕迹).
(4)如图4,在数轴上,表示1的点记为M,点N也在这条数轴上且MN= MP,求点N表示的数.

答案：
解:
(1)$\sqrt{2}$ 1 - $\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{17}$
(3)如图,点P即为所求.

(4)因为OP=$\sqrt{17}$,OM=1,所以MP=$\sqrt{17}$ - 1.因为MN=MP,所以当点N在点M的右侧时,点N表示的数为$\sqrt{17}$,当点N在点M的左侧时,点N'表示的数为2 - $\sqrt{17}$.综上所述,点N表示的数为$\sqrt{17}$或2 - $\sqrt{17}$.