《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

10. 如图,AE⊥AB且AE= AB,BC⊥CD且BC= CD,请根据图中标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是(A)
A.50
B.62
C.65
D.68

答案： A　提示:因为AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH,所以∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°.因为∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°,所以∠EAF=∠ABG.在△EFA和△AGB中,$\begin{cases} ∠EFA=∠AGB, \\ ∠EAF=∠ABG, \\ AE=BA, \end{cases}$所以△EFA≌△AGB,所以AF=BG,EF=AG.同理可证△BGC≌△CHD,所以GC=HD,BG=CH.所以FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,所以S=$\frac{1}{2}$×(6+4)×16−3×4−6×3=50.

11. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠EAF= 1/2∠BAC,BF⊥AE于点E,交AF于点F,连接CF.
(1)如图1,当∠EAF在∠BAC内部时,求证:EF= BE+CF.
(2)如图2,当∠EAF的边AE,AF分别在∠BAC外部、内部时,试探索线段CF,BF,BE之间的数量关系,并加以证明.

答案：
(1)证明:在EF上截取EH=BE,连接AH.因为AE⊥BF,所以∠AEB=∠AEH=90°.又因为AE=AE,EB=EH,所以△ABE≌△AHE,所以∠BAE=∠HAE,AB=AH.因为AB=AC,所以AC=AH.因为∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC,所以∠BAE+∠CAF=∠EAF,所以∠HAE+∠CAF=∠HAE+∠HAF,所以∠CAF=∠HAF.在△ACF和△AHF中,$\begin{cases} AC=AH, \\ ∠CAF=∠HAF, \\ AF=AF, \end{cases}$所以△ACF≌△AHF(SAS),所以CF=HF.所以EF=EH+HF=BE+CF.
(2)CF=BF+2BE.证明如下:在BE的延长线上截取EN=BE,连接AN.同
(1)可证,△ABE≌△ANE,所以AN=AB=AC,∠BAE=∠NAE.因为∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC,所以∠NAF=∠EAF+∠NAE=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BAN)=$\frac{1}{2}$∠CAN=∠CAF,同
(1)可证△ACF≌△ANF(SAS),所以CF=NF=BF+2BE.

12. (2024 常州市校级期中)如图,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,AC= BC,E为射线CB上一动点,连接AE,过点A作AF⊥AE且AF= AE,垂足为A.
(1)如图1,过点F作FD⊥AC于点D,求证:EC+CD= DF.
(2)如图2,连接BF交AC于点G,若AG/CG= 3,求证:E为BC的中点.
(3)当点E在射线CB上,连接BF与直线AC交于点G,若BC/BE= 5/2,则AG/CG= ______.

答案：
证明:
(1)因为∠FAD+∠CAE=90°,∠FAD+∠DFA=90°,所以∠CAE=∠DFA,可证△ADF≌△ECA(AAS),所以AD=EC,DF=CA,所以EC+CD=AD+CD=CA=DF.
(2)过点F作FD⊥AC交AC于点D,由
(1)知,△ADF≌△ECA.所以AD=EC,FD=AC=BC.因为∠FGD=∠BGC,∠FDG=∠BCG,所以△FDG≌△BCG(AAS),所以DG=CG.因为$\frac{AG}{CG}=3$,所以$\frac{AD}{CG}=2$,所以$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.所以$\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,即E为BC的中点.
(3)6或4　提示:当点E在CB的延长线上时,如图,过点F作FD⊥AG,交AC的延长线于点D.因为$\frac{BC}{BE}=\frac{5}{2}$,BC=AC,CE=CB+BE,所以$\frac{AC}{CE}=\frac{5}{7}$,由
(1)
(2)知,△ADF≌△ECA,△GDF≌△GCB,所以CG=DG,AD=EC,所以$\frac{AC}{AD}=\frac{5}{7}$,所以$\frac{AC}{CD}=\frac{5}{2}$,所以$\frac{AG}{CG}=6$.同理,当点E在线段CB上时,$\frac{AG}{CG}=4$.