《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,AD= BC,P 为直线 BC 上方的一个动点,△PBC 的面积等于△ABC 面积的$ \frac{1}{2} $,则当 PB+PC 的值最小时,∠PBC 的度数为______.
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答案：
45°　提示:因为$S_{\triangle PBC}$= $\frac{1}{2}$$S_{\triangle ABC}$,所以点P在与BC平行且到BC的距离为 $\frac{1}{2}$AD的直线l上运动.如图,作点B关于直线l的对称点B',连接B'C交l于点P,则B'B⊥l,B'B⊥BC,PB=PB',此时PB+PC的值最小.过点P作PM⊥BC于点M,则B'B=2PM=AD.因为AD=BC,所以B'B=BC,所以△BB'C是等腰直角三角形,所以∠B'=45°,所以∠PBB'=∠B'=45°,所以∠PBC=90°-∠PBB'=45°.
　　　　　

9. 如果四边形中的一条对角线的长度是另一条对角线长度的两倍,那么称这个四边形为“倍长对角线四边形”. 如图,四边形 ABCD 是“倍长对角线四边形”,且∠BAD= ∠BCD= 90°,则四边形 ABCD 中最小内角的度数是______30°.
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答案： 30°　提示:在BD上取中点E,连接AE,CE.因为∠BAD=∠BCD=90°,所以AE= $\frac{1}{2}$BD,CE= $\frac{1}{2}$BD.又因为AC= $\frac{1}{2}$BD,所以AE=AC=CE,即△AEC为等边三角形,所以∠AEC=60°.又因为AE=BE=CE,所以∠ABE=∠BAE= $\frac{1}{2}$∠AED,∠CBE=∠BCE= $\frac{1}{2}$∠CED,所以∠ABC=∠ABE+∠CBE= $\frac{1}{2}$(∠AED+∠CED)= $\frac{1}{2}$∠AEC=30°.

10. (1)如图 1,△ABD,△AEC 都是等边三角形,求证：△DAC≌△BAE.
(2)如图 2,在(1)的条件下,设 BE,DC 交于 M,连接 AM,求$ \frac{MD+ME}{MB+MC+2MA} $的值.
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答案：
(1)证明:因为△ABD和△AEC都是等边三角形,所以∠CAE=∠DAB=60°,所以∠BAE=60°+∠BAC=∠DAC.在△BAE和△DAC中,$\left\{\begin{array}{l}BA=DA,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right.$所以△BAE≌△DAC(SAS).
(2)解:在DC上截取GD=MB,连接AG.由
(1)得△BAE≌△DAC,所以∠ADG=∠ABM,∠AEB=∠ACD.在△ADG和△ABM中,$\left\{\begin{array}{l}AD=AB,\\ ∠ADG=∠ABM,\\ GD=MB,\end{array}\right.$所以△ADG≌△ABM,所以∠DAG=∠BAM,GA=MA.因为∠DAG+∠BAG=60°,所以∠BAM+∠BAG=60°,即∠MAG=60°,所以△MAG为等边三角形.所以∠MAG+∠CAM=∠CAM+∠CAE,即∠CAG=∠EAM.在△CAG和△EAM中,$\left\{\begin{array}{l}GA=MA,\\ ∠CAG=∠EAM,\\ AC=AE,\end{array}\right.$所以△CAG≌△EAM(SAS),所以CG=ME,所以MD+ME=DG+MG+MC+MG=MB+MC+2MA,所以$\frac{MD+ME}{MB+MC+2MA}$=1.

11. 如图,△ABC,△CDE 都是等边三角形,AD,BE 相交于点 O,M,N 分别是线段 AD,BE 的中点.
(1)求证：AD= BE.
(2)求∠DOE 的度数.
(3)求证：△MNC 是等边三角形.
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答案：
(1)证明:因为△ABC,△CDE都是等边三角形,所以AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l}AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right.$所以△ACD≌△BCE,所以AD=BE.
(2)解:因为△ACD≌△BCE,所以∠ADC=∠BEC.因为△CDE是等边三角形,所以∠CED=∠CDE=60°.所以∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=120°.所以∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°.
(3)证明:因为△ACD≌△BCE,所以∠CAM=∠CBN.又因为M,N分别是线段AD,BE的中点,所以AM= $\frac{1}{2}$AD,BN= $\frac{1}{2}$BE,所以AM=BN.在△ACM和△BCN中,$\left\{\begin{array}{l}AC=BC,\\ ∠CAM=∠CBN,\\ AM=BN,\end{array}\right.$所以△ACM≌△BCN,所以CM=CN,∠ACM=∠BCN.又因为∠ACB=60°,所以∠ACM+∠MCB=60°.所以∠BCN+∠MCB=60°,即∠MCN=60°.所以△MNC是等边三角形.

12. 在△ABC 中,AB= AC,∠A= α,过△ABC 其中一个顶点的直线把△ABC 分成两个等腰三角形,则 α 的值为______.

答案：
90°或108°或36°或$(\frac{180}{7})^{\circ}$　提示:当过顶角顶点的直线把它分成了两个等腰三角形时:①如图1,AB=AC,AD=CD=BD,设∠B=x°,则∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=x°.因为∠B+∠BAC+∠C=180°,所以x+x+x+x=180,解得x=45,则α=90°.
　　 　　
②如图2,AB=AC=CD,BD=AD,设∠C=x°.因为AB=AC,所以∠B=∠C=x°.因为BD=AD,所以∠BAD=∠B=x°,所以∠ADC=∠B+∠BAD=2x°.因为AC=CD,所以∠CAD=∠ADC=2x°,所以∠BAC=3x°,所以x+x+3x=180,解得x=36,则α=108°.
当过底角顶点的直线把它分成了两个等腰三角形时:③如图3,AB=AC,BC=BD=AD.因为BD=AD,所以∠ABD=∠A=α,所以∠CDB=∠ABD+∠A=2α.因为BC=BD,所以∠C=∠CDB=2α.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=2α.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,所以α+2α+2α=180,解得α=36°.
　　　　 　　　　
④如图4,AD=BD,BC=DC.此时∠ABD=∠A=α,∠DBC=∠BDC=2α,∠C=∠ABC=3α,所以α+3α+3α=180,解得α=$(\frac{180}{7})^{\circ}$.

13. 如图,在等边三角形 ABC 外作射线 AD,∠BAD= α(0°＜α＜90°),点 B 关于直线 AD 的对称点为 P,连接 PB,PC,其中 PB,PC 分别交射线 AD 于点 E,F.
(1)①依题意补全图形.
②求∠BPC 的度数.
(2)用等式表示线段 AF,EF 与 CF 之间的数量关系,并证明.
(3)若△PBC 是等腰三角形,请直接写出 α 的度数.
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答案：

(1)①补全图形如图1所示.
　　
②如图2,连接AP.因为点P,B关于AD对称,所以AP=AB=AC.设∠APC=∠ACP=x,则∠PAC=180°-2x.因为∠BAC=60°,所以∠PAB=180°-2x-60°=120°-2x.因为AP=AB,所以∠APB=∠ABP= $\frac{1}{2}$(180°-∠PAB)=30°+x.所以∠BPC=∠APB-∠APC=30°+x-x=30°.
(2)CF=AF+2EF.证明如下:
如图2,连接BF,在CP上取一点T,使得TF=AF，连接AT.因为点B,P关于AD对称,所以AE⊥PB,∠AEB=90°,PF=BF.因为∠BPC=30°,所以∠PFE=∠AFT=60°,BF=PF=2EF.因为AF=TF,所以△AFT是等边三角形,所以AF=AT,∠FAT=60°.因为△ABC是等边三角形,所以AB=AC，∠BAC=∠FAT=60°,所以∠FAB=60°-∠BAT=∠TAC.在△FAB和△TAC中,$\left\{\begin{array}{l}AF=AT,\\ ∠FAB=∠TAC,\\ AB=AC,\end{array}\right.$所以△FAB≌△TAC,所以CT=BF.所以CF=TF+CT=AF+BF=AF+2EF.
(3)30°或75°.　提示:①当PB=BC时,∠PCB=∠BPC=30°,∠ACT=∠ACB-∠PCB=30°.因为∠AFT=60°,所以∠FAC=180°-∠AFT-∠ACT=90°.因为∠BAC=60°,所以α=∠BAD=30°.②如图3,当PB=PC时,因为∠BPC=30°,所以∠PBC=∠PCB= $\frac{1}{2}$×(180°-∠BPC)=75°,所以∠PBA=∠PBC-∠ABC=15°,所以α=∠BAD=180°-∠AEB-∠PBA=75°.③如图4,当BC=CP时,∠BCP=180°-2∠BPC=120°,AD与AC重合,不符合题意.综上所述,α的度数为30°或75°.