《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

9. 如图,在边长为8的正方形ABCD中,BG= BE,E,F,I,H分别为AF,AB,DF,EG的中点,求HI的长.
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答案： 解:如图，以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系. 根据题意，可得点D(0, 8)，F(4, 0)，E(2, 0)，G(8, 6). 所以点I(2, 4)，H(5, 3)，所以HI = √((5 - 2)² + (3 - 4)²) = √10.

10. 如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B在第一象限内,且AB= 4,OB= 3.

(1) 试判断△AOB的形状,并说明理由.
(2) P是线段OA上一点,且PB-PA= 1,求点P的坐标.
(3) 如图2,C,D分别为线段OB,BA上的动点,且OC= BD,求AC+OD的最小值.

答案： 解:
(1)△AOB是直角三角形. 理由如下:因为点A(5, 0)，所以OA = 5. 所以AB² + OB² = OA²，所以△AOB是以OA为斜边的直角三角形.
(2)过点B作BE⊥OA于点E. 设PA = x，则PB = x + 1. 因为S△AOB = 1/2OB·AB = 1/2OA·BE，所以BE = (OB·AB)/OA = 12/5. 所以OE = √(OB² - BE²) = 9/5，所以PE = |OA - OE - PA| = |16/5 - x|. 在Rt△BEP中，由勾股定理，得PB² = PE² + BE²，即(x + 1)² = (16/5 - x)² + (12/5)²，解得x = 25/14，所以OP = OA - PA = 45/14，所以点P(45/14, 0).
(3)如图，过点O作以OB为腰、∠BOH = 90°的等腰直角三角形，则HO = OB，∠HOC = ∠OBD = 90°. 连接HC. 在△HOC和△OBD中，{HO = OB，∠HOC = ∠OBD，OC = BD}，所以△HOC≌△OBD，所以OD = HC，所以AC + OD = AC + HC. 当A，C，H三点共线时，AC + HC的值最小，即AC + OD取得最小值，为AH的长. 分别过点B，H作BE⊥x轴于点E，HF⊥x轴于点F. 由
(2)知，BE = 12/5，OE = 9/5. 易证△OHF≌△BOE，所以OF = BE = 12/5，HF = OE = 9/5. 所以AF = 37/5. 在Rt△AHF中，AH = √(AF² + HF²) = √58. 所以AC + OD的最小值为√58.

11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,4),B为x轴正半轴上一个动点,以AB为腰作等腰直角三角形ABC,∠ABC= 90°,且点C在第一象限内.
(1) 如图1,若点B(2,0),求点C的坐标.
(2) 如图2,过点B向x轴上方作BD⊥OB,且BD= BO,在点B的运动过程中,探究点C,D之间的距离是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是,请说明理由.
(3) 如图3,过点B向x轴下方作BD⊥OB,且BD= BO,连接CD交x轴于点E,当△ABD的面积是△BEC的面积的3倍时,求OE的长.

答案： 解:
(1)因为点A(0, 4)，B(2, 0)，所以AO = 4，BO = 2. 过点C作CD⊥x轴于点D，可证△OAB≌△DBC(AAS)，所以CD = BO = 2，BD = AO = 4，所以OD = BO + BD = 6，所以点C的坐标为(6, 2).
(2)点C，D之间的距离是为定值. 理由如下:连接CD，因为∠OBA + ∠ABD = 90°，∠DBC + ∠ABD = 90°，所以∠OBA = ∠DBC，可证△OAB≌△DCB(SAS). 所以CD = AO = 4，即点C，D之间的距离是为定值.
(3)过点C作CF⊥x轴于点F，由
(1)可知，△OAB≌△FBC，所以CF = BO，BF = AO = 4. 因为BD = BO，所以CF = BD. 可证△CFE≌△DBE，所以EF = EB = 2. 所以S△BEC = S△EFC = 1/2S△BFC = 1/2S△ABO. 由题可知S△ABD = 3S△BEC，所以S△ABD = 3/2S△ABO，所以1/2BD·BO = 3/2×1/2BO·OA，所以BD = 3/2OA = 6，所以OE = BO + EB = BD + EB = 8.