《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 如图,C,A,O,B 四点在同一条直线上,点D 在线段OE 上,且OA= OD,AC= DE,连接 CD,AE.有两个结论:①DC= AE;②∠2= ∠1+∠C.下列说法正确的是(A)
A.①②均正确
B.①正确,②错误
C.①错误,②正确
D.①②均错误

答案： A 提示:因为OA=OD,AC=DE,所以OA+AC=OD+DE,即OC=OE.易证△AOE≌△DOC,所以DC=AE,∠C=∠E.因为∠2=∠1+∠E,所以∠2=∠1+∠C,故①②均正确.

2. 如图,在△OAB 和△OCD 中,OA= OB,OC= OD,OA＞OC,∠AOB= ∠COD= 40°,连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM.下列结论:①AC= BD;②∠AMB= 40°;③OM 平分∠BOC;④MO 平分∠BMC.其中正确的有(B)

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B 提示:易证△AOC≌△BOD(SAS),所以∠OCA=∠ODB,∠OAC=∠OBD,AC=BD,故①正确;因为∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,所以∠AMB=∠AOB=40°,故②正确;过点O分别作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点H,易证△OCG≌△ODH(AAS),所以OG=OH,进而可证Rt△OGM≌Rt△OHM(HL),所以∠OMG=∠OMH,所以MO平分∠BMC,故④正确.

3. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC= 90°,D,E 分别为边 AB,AC 上的点,AD= AE,AF⊥BE 交 BC 于点 F,过点 F 作 FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G,交 AC 于点 M.现有以下结论:①△ADC≌△AEB;②∠AEG= ∠CDB;③△EGM 是等腰三角形;④BG= AF+FG.其中恒成立的有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D 提示:由条件易证△ADC≌△AEB(SAS),故①正确;因为△ADC≌△AEB,所以∠ADC=∠AEB,所以∠AEG=∠CDB,故②正确;因为∠BAC=90°,所以∠ACD+∠ADC=90°,因为FG⊥CD,所以∠ACD+∠CMF=90°,所以∠ADC=∠CMF,因为∠ADC=∠AEB=∠GEM,∠CMF=∠GME,所以∠GEM=∠GME,所以EG=MG,即△EGM为等腰三角形,故③正确;过点B作BN⊥AB,交GF的延长线于点N,因为BN⊥AB,∠ABC=45°,所以∠NBF=45°=∠ABF,因为AC⊥AB,所以BN//AC,所以∠N=∠GME=∠GEM=∠GBN,所以BG=NG,因为∠CAF+∠BAF=90°,∠CAF+∠AEB=90°,所以∠BAF=∠AEB=∠GEM=∠GBN=∠N,又因为BF=BF,∠ABF=∠NBF,所以△ABF≌△NBF(AAS),所以AF=NF,因为NG=NF+FG,所以BG=AF+FG,故④正确.

4. 如图,在△ADE 和△ABC 中,∠E= ∠C,DE= BC,EA= CA,过点 A 作 AF⊥DE,垂足为 F,DE 交 CB 的延长线于点 G,连接 AG.若四边形 DGBA 的面积为 12,AF= 4,则 FG 的长是(C)
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{10}{3}$

答案： C 提示:过点A作AH⊥BC于点H.易证△ABC≌△ADE,所以S△ABC=S△ADE.所以$\frac{1}{2}BC·AH=\frac{1}{2}DE·AF$,所以AH=AF.因为AF⊥DE,AH⊥BC,所以∠AFG=∠AHG=90°.易证Rt△AFG≌Rt△AHG,Rt△ADF≌Rt△ABH,所以S四边形DGBA=S四边形AFGH=2S△AFG=12.所以S△AFG=6.因为AF=4,所以$\frac{1}{2}×4FG=6$,解得FG=3.

5. 如图,直线 MN⊥PQ,垂足为 O,A 是射线 OP 上一点,OA= 2,以 OA 为边在 OP 右侧作∠AOF= 24°,且满足 OF= 4.若 B 是射线 ON 上的一个动点(不与点 O 重合),连接 AB,作△AOB 的两个外角平分线交于点 C,在点 B 运动过程中,当线段 CF 的长取最小值时,∠OFC 的度数为(69°)
A.90°
B.69°
C.24°
D.66°

答案： B 提示:如图,过点C作CE⊥PQ于点E,CG⊥MN于点G,CH⊥AB于点H,连接OC.因为AC平分∠PAB,CE⊥PQ,CH⊥AB,所以CE=CH,同理可得CG=CH,所以CE=CG,所以OC平分∠AOB,即点C在∠AOB的平分线上,所以∠AOC=45°.因为∠AOF=24°,所以∠FOC=45°-∠AOF=21°.过点F作FC'⊥OC于点C',则C'F≤CF,即CF长的最小值为C'F的长,此时点C与点C'重合,所以∠FC'O=90°,所以∠OFC'=90°-∠FOC'=69°,所以当线段CF的长取最小值时,∠OFC的度数为69°.

6. 从1,2,3,…,2004 中任选 k 个数,使所选的 k 个数中,一定可以找到能构成三角形边长的三个数(三角形三边长互不相等),则满足条件的 k 的最小值是17.

答案： 17 提示:(逆向思维法)先从1,2,3,…,2004中找出一组数,以该组数中任意3个数为边长均不构成三角形,且该组数的个数为最多.根据三角形三边之间的关系,可得该组数为1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,共16个数.所以k的最小值是17.

7. 如图,在△ABC 中,过点 A 作∠BAC 的平分线交 BC 于点 P,CM⊥AP 于点 N.若∠CAB= 30°,∠B= 55°,则∠BPM= __40°__.

答案： 40° 提示:因为AP是∠BAC的平分线,所以∠MAP=∠CAP=$\frac{1}{2}∠CAB=15°$.因为CM⊥AP,所以∠ANC=∠ANM=90°,所以∠ACN=∠AMN=75°.因为∠B=55°,所以∠PCM=∠AMN-∠B=20°.易证△ACN≌△AMN,所以CN=MN.易证△PCN≌△PMN,所以∠PMC=∠PCM=20°,所以∠BPM=∠PMC+∠PCM=40°.

8. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 7 cm,BC= 3 cm,CD 为边 AB 上的高,点 E 从点 B 出发,在直线 BC 上以 2 cm/s 的速度移动,过点 E 作 BC 的垂线,交直线 CD 于点 F.当点 E 运动2或5s 时,CF= AB.

答案： 2或5 提示:易证△CEF≌△ACB(AAS),所以CE=AC=7 cm.如图,①当点E在射线BC上移动时,BE=CE+BC=10 cm,所以点E移动了$\frac{10}{2}=5$(s);②当点E在射线CB上移动时,BE'=CE'-BC=4 cm,所以点E移动了$\frac{4}{2}=2$(s).