《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

12. 对于实数a,我们规定:用符号$[\sqrt {a}]表示不大于\sqrt {a}$的最大整数,称$[\sqrt {a}]$为a的根整数,例如:$[\sqrt {9}]= 3,[\sqrt {10}]= 3.$
(1)仿照以上方法计算:$[\sqrt {4}]=$2;$[\sqrt {26}]=$5.
(2)若$[\sqrt {x}]= 1$,则满足题意的x的整数值为1 2 3.
(3)我们对a连续求根整数,直到结果为1为止.例如:对10连续求根整数2次依次得$[\sqrt {10}]= 3→[\sqrt {3}]= 1$,这时候结果为1.对100连续求根整数,3次之后结果为1.
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是多少?
解:因为$[\sqrt{255}]=15$,$[\sqrt{15}]=3$,$[\sqrt{3}]=1$,所以对255只需进行3次操作后变为1.因为$[\sqrt{256}]=16$,$[\sqrt{16}]=4$,$[\sqrt{4}]=2$,$[\sqrt{2}]=1$,所以对256只需进行4次操作后变为1.所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255.

答案：
(1)2 5
(2)1 2 3
(3)3
(4)解:因为$[\sqrt{255}]=15$,$[\sqrt{15}]=3$,$[\sqrt{3}]=1$,所以对255只需进行3次操作后变为1.因为$[\sqrt{256}]=16$,$[\sqrt{16}]=4$,$[\sqrt{4}]=2$,$[\sqrt{2}]=1$,所以对256只需进行4次操作后变为1.所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255.

13. 定义:如果一个数的平方等于-1,记为$i^{2}= -1$,这个数i叫作虚数单位.那么和我们所学的实数组合起来就叫作复数,表示为$a+bi$(a,b为实数),a叫作这个复数的实部,b叫作这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:$(2+i)+(3-4i)= (2+3)+(i-4i)= 5-3i.$
(1)填空:$i^{3}= $-i,$i^{4}= $1.
(2)填空:①$(2+i)(2-i)= $5;②$(2+i)^{2}= $$3+4\text{i}$.
(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等.完成下列问题:已知$(x+y)+3i= 1-(x-y)i$,其中x,y为实数,求x,y的值.
解:根据题意,得$\left\lbrace\begin{align}&x+y=1, \\&x-y=-3, \end{align}\right.$解得$\left\lbrace\begin{align}&x=-1, \\&y=2. \end{align}\right.$
(4)试一试:请利用以前学习的有关知识将$\frac {1+i}{1-i}化简成a+bi$的形式.
解:$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{(1+\text{i})^{2}}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1+2\text{i}+\text{i}^{2}}{1-\text{i}^{2}}=\frac{1+2\text{i}-1}{1-(-1)}=\frac{2\text{i}}{2}=\text{i}$.
(5)解方程:$x^{2}-2x+4= 0.$
解:因为$x^{2}-2x=-4$,所以$x^{2}-2x+1=-4+1$,即$(x-1)^{2}=-3$,则$(x-1)^{2}=3\text{i}^{2}$,所以$x-1=\sqrt{3}\text{i}$或$x-1=-\sqrt{3}\text{i}$,所以$x=1+\sqrt{3}\text{i}$或$x=1-\sqrt{3}\text{i}$.

答案： 解:
(1)-i 1
(2)①⑤ ②$3+4\text{i}$
(3)根据题意,得$\left\lbrace\begin{align}&x+y=1, \\&x-y=-3, \end{align}\right.$解得$\left\lbrace\begin{align}&x=-1, \\&y=2. \end{align}\right.$
(4)$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{(1+\text{i})^{2}}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1+2\text{i}+\text{i}^{2}}{1-\text{i}^{2}}=\frac{1+2\text{i}-1}{1-(-1)}=\frac{2\text{i}}{2}=\text{i}$.
(5)因为$x^{2}-2x=-4$,所以$x^{2}-2x+1=-4+1$,即$(x-1)^{2}=-3$,则$(x-1)^{2}=3\text{i}^{2}$,所以$x-1=\sqrt{3}\text{i}$或$x-1=-\sqrt{3}\text{i}$,所以$x=1+\sqrt{3}\text{i}$或$x=1-\sqrt{3}\text{i}$.

14. 对于三个互不相等的数a,b,c,我们规定用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用med{a,b,c}表示这三个数从小到大排中间的数.例如:$M\{ -1,2,3\} = \frac {4}{3},$med{2,3,-1}= 2,则med$\{ -5,\sqrt {3},0\} = $0.如果$M\{ 3,2x+1,4x-1\} = $med{4,-x+3,6x},那么x=$\frac{3}{2}$.

答案： 0 $\frac{3}{2}$ 提示:因为$-5＜0＜\sqrt{3}$,所以$\text{med}\{-5,\sqrt{3},0\}=0$.当$\frac{3+(2x+1)+(4x-1)}{3}=4$时,解得$x=\frac{3}{2}$,则$-x+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}$,$6x=6× \frac{3}{2}=9$,因为$\frac{3}{2}＜4＜9$,所以$x=\frac{3}{2}$满足题意;当$\frac{3+(2x+1)+(4x-1)}{3}=-x+3$时,解得$x=\frac{2}{3}$,则$-x+3=-\frac{2}{3}+3=\frac{7}{3}$,$6x=6× \frac{2}{3}=4$,因为a,b,c互不相等,所以$x=\frac{2}{3}$不满足题意;当$\frac{3+(2x+1)+(4x-1)}{3}=6x$时,解得$x=\frac{1}{4}$,则$-x+3=-\frac{1}{4}+3=\frac{11}{4}$,$6x=6× \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$,而$\frac{3}{2}＜\frac{11}{4}＜4$,所以$x=\frac{1}{4}$不满足题意.

15. 阅读下列材料：
“为什么$\sqrt {2}$不是有理数?”
假设$\sqrt {2}$是有理数,那么存在两个互质的正整数m,n,使得$\sqrt {2}= \frac {n}{m}$,于是有$2m^{2}= $$n^{2}$.因为$2m^{2}$是偶数,所以$n^{2}$也是偶数,所以n为偶数.设$n= 2t$(t是正整数),则$m^{2}= 2t^{2}$.所以m也是偶数.所以m,n都是偶数,不互质,这与假设矛盾,所以假设错误.所以$\sqrt {2}$不是有理数.
请用类似的方法证明$\sqrt {3}$不是有理数.

答案： 证明:假设$\sqrt{3}$是有理数,那么存在两个互质的正整数m,n,使得$\sqrt{3}=\frac{n}{m}$,于是有$3m^{2}=n^{2}$.因为$3m^{2}$是3的倍数,所以$n^{2}$也是3的倍数,所以n是3的倍数.设n=3t(t是正整数),则$n^{2}=9t^{2}$,所以$m^{2}=3t^{2}$.所以m也是3的倍数.因为m,n都是3的倍数,不互质,这与假设矛盾,所以假设错误.所以$\sqrt{3}$不是有理数.