《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置.则点B的坐标为(A)
A.(2,4)
B.(4,2)
C.(-4,-2)
D.(-2,4)

答案： A

2.(2024南京市玄武区校级月考)已知点A(3,3),B为x轴负半轴上一点,直线BA绕点A顺时针旋转45°交y轴于点C,当BC= BO+2时,则点B的坐标为( )

A.(-12,0)
B.(-9,0)
C.(-6,0)
D.(-3,0)

答案：
D 提示:如图,过点A作y轴的平行线,交x轴于点H,过点C作y轴的垂线,两条直线相交于点G,过点A作AF⊥AC,交x轴于点F.因为点A(3,3),CG⊥GH,GH⊥x轴,所以AH=CG=3,所以△ACG≌△FAH(ASA),所以AG=FH,AC=FA.因为∠CAB=45°,所以∠FAB=90° - ∠CAB=45°,所以∠FAB=∠CAB,所以△ACB≌△AFB(SAS),所以BC=BF.因为BC=BO+2,BC=BO+OF,所以OF=2,所以FH=AG=1,所以HG=4,所以OC=4.设BO=x,则BC=x+2.在Rt△BOC中,BO²=BC² - OC²,即x²=(x+2)² - 4²,所以x=3,所以点B(-3,0).

3. 在平面直角坐标系中,有若干个相同的直角三角形,按如图规律摆放.已知$∠A_1= ∠A_3= ∠A_5=… =90°,OA_1= A_3A_4= A_4A_5=… =4,A_1A_2= A_2A_3= A_5A_6=… =3,$动点P从原点O出发,第一次运动到点$A_1,$第二次运动到点$A_2,$第三次运动到点$A_3,…,$按这样的运动规律,动点P第101次运动到点$A_1₀_1$的坐标为(B)
A.$\left(256\frac{4}{5},-\frac{12}{5}\right)$
B.$\left(253\frac{1}{5},\frac{12}{5}\right)$
C.$\left(252\frac{1}{2},\frac{12}{5}\right)$
D.$\left(252\frac{1}{2},0\right)$

答案： B 提示:过点A₁作A₁E⊥x轴于点E.在Rt△OA₁A₂中，由勾股定理，得OA₂=√(OA₁²+A₁A₂²)=5.因为S△OA₁A₂=1/2OA₁·A₁A₂=1/2OA₂·A₁E，所以A₁E=(OA₁·A₁A₂)/OA₂=12/5，所以OE=√(OA₁² - A₁E²)=16/5，所以点A₁(16/5,12/5),A₂(5,0),同理,得A₃(34/5,-12/5),A₄(10,0).观察可知,点Aₙ的纵坐标是12/5,0,-12/5,0循环出现,点Aₙ的横坐标是每4次一个循环,每个循环横坐标增加10.因为101÷4=25……1,所以点A₁₀₁的纵坐标与A₁相同,为12/5,横坐标为16/5+25×10=253 1/5,所以点A₁₀₁(253 1/5,12/5).

4. 如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,1).若记点A的坐标为$(a_1,a_2)$,则一个点从点A出发,沿图中路线依次经过点$B(a_3,a_4),C(a_5,a_6),D(a_7,a_8),…$,每个点的横纵坐标都是整数,按此规律一直运动下去,则$a_{2024}+a_{2025}+a_{2026}$的值为(C)
A.1012
B.1013
C.1014
D.1015

答案： C 提示:由直角坐标系可知,点A(1,1),B(2,-1),C(3,2),D(4,-2),…,即a₁=1,a₂=1,a₃=2,a₄=-1,a₅=3,a₆=2,a₇=4,a₈=-2,….对于aₙ(n为正整数),当n为奇数时,aₙ=(n+1)/2.当n为偶数时,若n能被4整除,则aₙ=-n/4;若不能,则aₙ=(n+2)/4.所以a₂₀₂₄=-2024/4=-506,a₂₀₂₅=(2025+1)/2=1013,a₂₀₂₆=(2026+2)/4=507.故a₂₀₂₄+a₂₀₂₅+a₂₀₂₆=1014.

5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是(0,2),以OA为边在其右侧作等边三角形$OAA_1,$过点$A_1$作x轴的垂线,垂足为$O_1,$以$O_1A_1$为边在其右侧作等边三角形$O_1A_1A_2,$再过点$A_2$作x轴的垂线,垂足为$O_2,$以$O_2A_2$为边在其右侧作等边三角形$O_2A_2A_3,…,$按此规律继续作下去,得等边三角形$O_2₀_2_4A_2₀_2_4A_2₀_2_5,$则点$A_2₀_2_5$的纵坐标为(B)
A.$\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$
B.$\left(\frac{1}{2}\right)^{2024}$
C.$\left(\frac{1}{2}\right)^{2023}$
D.$\left(\frac{1}{2}\right)^{2022}$

答案： B 提示:因为∠A₁OO₁=90° - 60°=30°,OA₁=OA=2,所以A₁O₁=1/2OA₁=2×1/2,点A₁纵坐标是2×1/2.又因为∠A₂O₁O₂=90° - 60°=30°,O₁A₂=A₁O₁=2×1/2,所以A₂O₂=1/2O₁A₂=2×1/2×1/2,所以点A₂纵坐标是2×1/2×1/2,即2×(1/2)².同理,得点A₃纵坐标是2×(1/2)³.按此规律继续作下去,得点A₂₀₂₅的纵坐标是2×(1/2)²⁰²⁵,即(1/2)²⁰²⁴.

6. 在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(x-ay,ax+y),则称点Q是点P的“a阶好运点”(a为常数,且a≠0).例如:点P(1,3)的“2阶好运点”为点(1-2×3,2×1+3),即点Q(-5,5).若点C(m+2,1-3m)的“-5阶好运点”到x轴的距离为6,则m=-3/8或-15/8.

答案： -3/8或-15/8 提示:由题意,得点C(m+2,1 - 3m)的" - 5阶好运点"为(-14m+7,-8m - 9).所以|-8m - 9|=6,解得m=-3/8或m=-15/8.