《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

14. 计算：
(1)$\pi -\sqrt{2}+\sqrt{5}$(精确到0.01)；
(2)$|\sqrt{3}-\sqrt{6}|+0.91$(保留两位小数).

答案：
(1) 原式$\approx3.142-1.414+2.236=3.964\approx3.96$.
(2) 原式$\approx2.449-1.732+0.91=1.627\approx1.63$.

15. 把一个四位数x先四舍五入到十位,所得的数为y,再将y四舍五入到百位,所得的数为z,再将z四舍五入到千位,所得的数恰好为$3× 10^{3}$.
(1)数x的最大值和最小值分别是多少？
(2)将数x的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来.(精确到百位)

答案：
(1) 根据题意和四舍五入的原则,可知①$x_{\text{最小值}}=2445$,$y\approx2450$,$z\approx2500$,$2500\approx3000$;②$x_{\text{最大值}}=3444$,$y\approx3440$,$z\approx3400$,$3400\approx3000$.所以最大值为3444,最小值为2445.
(2) 因为最大值为3444,最小值为2445,所以$3444 - 2445 = 999\approx1.0×10^{3}$.

16. 我们把由四舍五入法对非负实数x精确到个位的值记为〈x〉.如：〈0〉= 〈0.48〉= 0,〈0.64〉= 〈1.493〉= 1,〈2〉= 2,〈2.5〉= 〈3.12〉= 3,…
解决下列问题：
(1)①若〈x〉= 6,则x的取值范围是5.5≤x＜6.5.
②若〈x〉= $\frac{4}{3}x$,则x=0或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$.
(2)若m为正整数,试说明〈x+m〉= 〈x〉+m恒成立.
解:设$x=n+a$,其中$n$为$x$的整数部分($n$为非负整数),$a$为$x$的小数部分($0\leqslant a＜1$).分两种情况讨论:当$0\leqslant a＜\frac{1}{2}$时,有$\langle x\rangle=n$,因为$x+m=(n+m)+a$,这时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$\langle x+m\rangle=n+m$,又因为$\langle x\rangle+m=n+m$,所以$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$;当$\frac{1}{2}\leqslant a＜1$时,有$\langle x\rangle=n+1$,因为$x+m=(n+m)+a$,这时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$\langle x+m\rangle=n+m+1$,又因为$\langle x\rangle+m=n+1+m=n+m+1$,所以$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$.综上所述,$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$恒成立.

答案：
(1) ①$5.5\leqslant x＜6.5$ ②0或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$
(2) 解:设$x=n+a$,其中$n$为$x$的整数部分($n$为非负整数),$a$为$x$的小数部分($0\leqslant a＜1$).分两种情况讨论:当$0\leqslant a＜\frac{1}{2}$时,有$\langle x\rangle=n$,因为$x+m=(n+m)+a$,这时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$\langle x+m\rangle=n+m$,又因为$\langle x\rangle+m=n+m$,所以$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$;当$\frac{1}{2}\leqslant a＜1$时,有$\langle x\rangle=n+1$,因为$x+m=(n+m)+a$,这时$(n+m)$为$(x+m)$的整数部分,$a$为$(x+m)$的小数部分,所以$\langle x+m\rangle=n+m+1$,又因为$\langle x\rangle+m=n+1+m=n+m+1$,所以$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$.综上所述,$\langle x+m\rangle=\langle x\rangle+m$恒成立.

17. 某数学研究小组对面积为12的正方形边长的近似值进行探索,下面他们探索报告的片段.
第一次探索报告：
面积为12的正方形的边长应介于$3\sim 4$之间,不妨设边长为$3+a$,如图,计算面积,得$(3+a)^{^{2}}= $______$+a^{2}= 12$,下图中阴影部分面积为$a^{2}$,因为边长接近$a^{2}$,所以$a^{2}$接近0,可把$a^{2}$看成0略去,得到方程______,解得a= ______,该正方形的边长约______.


第二次探索报告：

(1)补充完整第一次探索报告.
(２)借助该思路,在(1)得到近似值的基础上再进行探索,求出该正方形的边长的更精确的近似值(写出第二次探索报告,画出示意图并标出数据,结果保留两位小数).
(3)已知长方形的面积是11,长比宽多2,请估计长方形长与宽的近似值结果保留两位小数).

答案：

(1) $9+6a$ $9+6a=12$ 0.5 3.5.
(2) 如图,设$\sqrt{12}=3.5-x$,示意图如图所示.由面积公式,可得$x^{2}+2x(3.5-x)+12=3.5^{2}$,整理,得$-x^{2}+7x+12=12.25$,略去$x^{2}$,得方程$7x+12=12.25$,解得$x=0.0357\cdots$.所以$\sqrt{12}\approx3.46$.
(3) 由题意可知,该长方形的宽应介于2~2.5之间.设长方形的宽为$2+a$,长为$4+a$,则有$(2+a)(4+a)=11$,所以$a^{2}+6a+8=11$.因为长方形的宽接近2,所以$a^{2}$接近0,所以$6a=3$,所以$a=0.5$.再设长方形的宽为$2.5-y$,长为$4.5-y$,则有$(2.5-y)(4.5-y)=11$,可得$y^{2}-7y+11.25=11$,略去$y^{2}$,得方程$-7y+11.25=11$,解得$y=0.0357\cdots$.所以长方形的宽为2.46,长为4.46.