《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(0,1)$,$B(1,1)$,下面有四种说法：①一次函数$y= \frac{1}{2}x$的图象与线段AB有公共点；②当$0\leq b\leq1$时,一次函数$y = x + b$的图象与线段AB有公共点；③当$k＜2且k\neq0$时,一次函数$y = kx - 1$的图象与线段AB有公共点；④当$\frac{1}{2}\leq k\leq1$时,一次函数$y = kx + k$的图象与线段AB有公共点. 上述说法中正确的是______②④(填序号).

答案： ②④ 提示:因为一次函数y=1/2 x的图象经过点(0,0),(2,1),所以一次函数y=1/2 x的图象与线段AB没有公共点,故①错误.在y=x+b中,令y=1,则x+b=1,解得x=1-b.因为0≤b≤1,所以0≤1-b≤1,所以当0≤b≤1时,一次函数y=x+b的图象与线段AB交于点(1-b,1),故②正确.在y=kx-1中,令y=1,则kx-1=1,解得x=2/k.因为k＜2且k≠0,所以2/k＞1或2/k＜0,所以当k＜2时,一次函数y=kx-1的图象与线段AB无公共点,故③错误.在y=kx+k中,令y=1,则kx+k=1,解得x=(1-k)/k,因为当1/2≤k≤1时,0≤(1-k)/k≤1,所以当1/2≤k≤1时,一次函数y=kx+k的图象与线段AB有公共点((1-k)/k,1),故④正确.

9. (2025无锡市宜兴市期末)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,沿公路经B地到C地,乙车从C地出发,沿公路驶向B地. 甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车比甲车早$\frac{2}{7}h$到达目的地. 甲、乙两车之间的路程$y$(km)与两车行驶时间$x$(h)的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是70km/h,图中$a= $300.
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
设函数表达式为y=kx+b.因为点E(5/2,0),F(4,180),所以{5/2 k+b=0,4k+b=180,解得{k=120,b=-300.故线段EF所在直线的函数表达式为y=120x-300.
(3)两车出发多少小时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？
乙车的速度为(300-70×5/2)÷5/2=50(km/h),所以B,C两地之间的距离为50×4=200(km),所以A,B两地之间的距离为300-200=100(km).设两车出发t h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍,则200-50t=4|100-70t|,解得t=20/23或t=20/11.答:两车出发20/23 h或20/11 h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍.

答案： （1）70 300 提示:甲车行驶的速度是(200-180)÷2/7=70(km/h),A,C两地之间的距离为70×(4+2/7)=300(km),所以a=300.
（2）设函数表达式为y=kx+b.因为点E(5/2,0),F(4,180),所以{5/2 k+b=0,4k+b=180,解得{k=120,b=-300.故线段EF所在直线的函数表达式为y=120x-300.
（3）乙车的速度为(300-70×5/2)÷5/2=50(km/h),所以B,C两地之间的距离为50×4=200(km),所以A,B两地之间的距离为300-200=100(km).设两车出发t h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍,则200-50t=4|100-70t|,解得t=20/23或t=20/11.答:两车出发20/23 h或20/11 h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍.

10. 在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y = 2x - 4$的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,$P(m,n)(m＞0,n＜0)是一次函数y = 2x - 4$的图象上一点.
(1)请直接写出A,B两点的坐标.
(2)若$k= m + n$,求$k$的取值范围.
(3)若Q为一次函数$y = 2x - 4$的图象在第一象限内的一点,且满足$OP = OQ$,$\angle POQ = 90^{\circ}$,求$m + n$的值.
(4)一次函数$y= -3x + 1与一次函数y = 2x - 4$的图象交于点C,与y轴交于点D,直线OP与直线AB、直线CD不能围成三角形,请直接写出符合条件的点P的坐标.

答案： （1）点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,-4).
（2）因为点P(m,n)在一次函数y=2x-4的图象上,所以n=2m-4.因为n＜0,所以2m-4＜0,解得m＜2.因为m＞0,所以0＜m＜2.因为k=m+n=m+2m-4=3m-4,而-4＜3m-4＜2,所以k的取值范围是-4＜k＜2.
（3）如图1,分别过点P,Q作PC⊥y轴于点C,QD⊥y轴于点D,则∠PCO=∠ODQ=90°,所以∠POC+∠OPC=90°.因为∠POQ=90°,所以∠POC+∠QOD=90°,所以∠OPC=∠QOD.又因为OP=QO,所以△DOQ≌△CPO.所以DO=CP=m,DQ=CO=-n,所以点Q(-n,m).因为点P(m,n),Q(-n,m)在一次函数y=2x-4的图象上,所以{n=2m-4,m=-2n-4,解得{m=4/5,n=-12/5.所以m+n=-8/5.
（4）点P的坐标为(4/5,-12/5)或(1,-2). 提示:易知点C(1,-2),D(0,1).如图2,当OP//CD时,直线OP与直线AB、直线CD不能围成三角形,此时直线OP的函数表达式为y=-3x.联立方程组{y=-3x,y=2x-4,解得{x=4/5,y=-12/5.所以点P(4/5,-12/5).如图3,当点P与点C重合时,直线OP与直线AB、直线CD不能围成三角形.所以点P(1,-2).综上所述,点P的坐标为(4/5,-12/5)或(1,-2).