《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

10. 甲、乙两车分别从相距15 km的沈阳科学宫和辽宁省博物馆同时匀速相向而行.甲车出发10 min后,由于交通管制,停止了2 min,再出发时速度比原来减少15 km/h,并安全到达终点.甲、乙两车距沈阳科学宫的路程$ y $(单位：km)与两车行驶时间$ x $(单位：h)的图象如图所示.
(1)填空：$ a= $$\frac{1}{5}$.
(2)求乙车距沈阳科学宫的路程$ y 与两车行驶时间 x $的函数表达式,并直接写出自变量$ x $的取值范围.
解:设乙车距沈阳科学宫的路程 y 与两车行驶时间 x 的函数表达式为 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0). 将坐标(0,15)和$ (\frac{1}{3},0) $分别代入 y=kx+b,得$ \begin{cases} b=15, \\ \frac{1}{3}k+b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-45, \\ b=15. \end{cases} $所以乙车距沈阳科学宫的路程y 与两车行驶时间 x 的函数表达式为$ y=-45x+15(0\leqslant x\leqslant \frac{1}{3}) $.
(3)$ x= $$\frac{1}{7}$h时,甲、乙两车相遇.

答案：
(1)$ \frac{1}{5} $
(2)解:设乙车距沈阳科学宫的路程 y 与两车行驶时间 x 的函数表达式为 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0). 将坐标(0,15)和$ (\frac{1}{3},0) $分别代入 y=kx+b,得$ \begin{cases} b=15, \\ \frac{1}{3}k+b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-45, \\ b=15. \end{cases} $所以乙车距沈阳科学宫的路程y 与两车行驶时间 x 的函数表达式为$ y=-45x+15(0\leqslant x\leqslant \frac{1}{3}) $.
(3)$ \frac{1}{7} $ 提示:设甲车出发 10 min 内的速度为v km/h,则再出发时速度为(v-15)km/h. 根据题意,得$ \frac{1}{6}v+(\frac{14}{45}-\frac{1}{5})(v-15)=15 $,解得 v=60. 所以当$ 0\leqslant x\leqslant \frac{1}{6} $时,甲车距沈阳科学宫的路程 y 与两车行驶时间x 的函数表达式为 y=60x. 根据题意,得 60x=-45x+15,解得$ x=\frac{1}{7} $,所以当$ x=\frac{1}{7}h $时,甲、乙两车相遇.

11. 如图1,在8×8的方格纸(每个小方格的边长均为1个单位长度)上有一张三角形纸片,其顶点$ A,B,C $都在方格纸的格点上,将纸片$ ABC $以每秒1个单位长度的速度沿水平方向匀速向右平移,当点$ C 落在网格右侧边界 EF $上时,立刻将纸片$ ABC $以每秒2个单位长度的速度沿水平方向匀速向左平移,当点$ B 落在左侧边界 MN $上时,我们称纸片$ ABC $完成了1次“往返平移运动”,随即纸片$ ABC $继续重复进行上述的“往返平移运动”.设这张方格纸位于$ AC 所在直线左侧且不被纸片 ABC 遮挡的图形面积为 y $,平移纸片$ ABC 所用时间为 x $ s.
(1)当$ x= 5 $时,求$ y $的值.
(2)当$ 5＜x\leqslant 7.5 $时,求$ y 与 x $之间的函数表达式.
(3)若纸片$ ABC $一共进行了3次这样的“往返平移运动”,则当$ y= 30 $时,求平移这张纸片$ ABC $所用的时间.

答案： 解:
(1)因为$ S_{\triangle ABC}=3×8-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×2×8=24-1-9-8=6 $,所以当 x=5 时,$ y=\frac{1}{2}×(6+8)×8-6=50 $.
(2)当 5＜x≤7.5 时,$ y=\frac{8×\{[8-2(x-5)-2]+[8-2(x-5)]\}}{2}-6=-16x+130 $.
(3)当 0≤x≤5 时,$ y=\frac{8(1+x+3+x)}{2}-6=8x+10 $. 把 y=30 代入 y=8x+10,解得 x=2.5;代入 y=-16x+130,解得 x=6.25. 每过7.5 s 一次循环,三次这样的"往返平移运动",使得 y=30 的时间一共 6 次.根据平移可得 6 次时间分别为 2.5 s,10 s,17.5 s,6.25 s,13.75 s,21.25 s.