《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

5. 如图1为测浮力的实验,在将一长方体石块由玻璃器皿的上方,向下缓慢浸入水里的过程中,弹簧测力计的示数 F_{拉力}(N)与石块下降的高度 x(cm)之间的关系如图2所示.当石块下降的高度为 8 cm 时,该石块所受到的浮力为$\frac{3}{4}N$.

答案： $\frac{3}{4}N$ 提示:由待定系数法,得直线AB的函数表达式为$F_{拉力}=-\frac{3}{8}x+\frac{25}{4}$,令$x = 8$,得$F_{拉力}=\frac{13}{4}$,由题图象可知,$G_{重力}=4N$,当石块逐渐浸入水里时,$F_{拉力}=G_{重力}-F_{浮力}$,所以$F_{浮力}=G_{重力}-F_{拉力}=4-\frac{13}{4}=\frac{3}{4}(N)$.

6. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售,已知 3 辆 A 型汽车和 4 辆 B 型汽车的进价共计 120 万元,4 辆 A 型汽车和 3 辆 B 型汽车的进价共计 132 万元.
(1) 求 A,B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(2) 若该公司计划正好用 96 万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆(两种型号的汽车均购买),请求出该公司的所有购买方案.
(3) 若该汽车销售公司销售 1 辆 A 型汽车可获利 4000 元,销售 1 辆 B 型汽车可获利 3000 元,则在(2)的购买方案中,当这些新能源汽车全部售出时,哪种方案获利最大?最大利润是多少元?

答案： 解:
(1)设A,B两种型号的汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元.根据题意,得$\begin{cases}3x + 4y = 120\\4x + 3y = 132\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 24\\y = 12\end{cases}$.答:A,B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元、12万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,B型汽车$n$辆,则$24m + 12n = 96$,所以$n = 8 - 2m$.因为$m$,$n$均为正整数,所以$\begin{cases}m = 1\\n = 6\end{cases}$或$\begin{cases}m = 2\\n = 4\end{cases}$或$\begin{cases}m = 3\\n = 2\end{cases}$.所以共有3种购买方案:①购进A型车1辆,B型车6辆;②购进A型车2辆,B型车4辆;③购进A型车3辆,B型车2辆.
(3)设在
(2)的条件下,这些新能源汽车全部售出时,获得利润为$w$元.根据题意,得$w = 4000m + 3000n = 4000m + 3000(8 - 2m)= - 2000m + 24000$.因为$-2000 ＜ 0$,所以$w$随$m$的增大而减小,所以当$m = 1$时,$w$最大,最大值为22000,此时$n = 6$,所以购进A型车1辆,B型车6辆时获利最大,最大利润是22000元.

7. 如下表,某网络公司给出 A,B 两种上网的月收费方式.
|收费方式|月使用费/元|包时上网时间/h|超时费/(元/h)|
|A|30|30|a(a＞0)|
|B|45|50|3|

设上网时间为 t(单位:h),0＜t≤720,根据表格回答:
(1) 请写出 B 种方式上网费用 y(单位:元)关于上网时间 t(单位:h)的函数表达式.
(2) 若 a= 3,选取 B 种方式的上网费用低于 A 种方式时,求上网时间 t 的取值范围.
(3) 若 a＜2.9,当上网时间为 m 时,A 方式和 B 方式的上网费用相同.若 m 的值存在两个,求 a 的取值范围.

答案：
解:
(1)当$0 ＜ t\leqslant50$时,$y = 45$;当$50 ＜ t\leqslant720$时,$y = 45 + 3(t - 50)= 3t - 105$.所以B种方式上网费用$y$关于上网时间$t$的函数表达式为$y=\begin{cases}45(0 ＜ t\leqslant50)\\3t - 105(50 ＜ t\leqslant720)\end{cases}$.
(2)对于A种上网方式,当$0 ＜ t\leqslant30$时,$y = 30$;当$30 ＜ t\leqslant720$时,$y = 30 + 3(t - 30)= 3t - 60$.所以A种方式上网费用$y$关于上网时间$t$的函数表达式为$y=\begin{cases}30(0 ＜ t\leqslant30)\\3t - 60(30 ＜ t\leqslant720)\end{cases}$.A,B两种方式上网费用$y$关于上网时间$t$的函数图象如图中实线所示:
　　　　
当两图象相交时,得$\begin{cases}y = 3t - 60\\y = 45\end{cases}$,解得$\begin{cases}t = 35\\y = 45\end{cases}$.所以两图象交点坐标为$(35,45)$,由图象可知,当B种方式的上网费用低于A种方式时,上网时间$t$的取值范围为$35 ＜ t\leqslant720$.
(3)对于A种上网方式,当$0 ＜ t\leqslant30$时,$y = 30$;当$30 ＜ t\leqslant720$时,$y = 30 + a(t - 30)= at + 30(1 - a)$;所以A种方式上网费用$y$关于上网时间$t$的函数表达式为$y=\begin{cases}30(0 ＜ t\leqslant30)\\at + 30(1 - a)(30 ＜ t\leqslant720)\end{cases}$.如图中虚线PM,PN所示为两种临界情况:当$30 ＜ t\leqslant720$时,A种方式上网费用$y$关于上网时间$t$的函数图象PM经过点$(720,2055)$,图象PN经过点$(50,45)$.当图象PM经过点$(720,2055)$时,得$720a + 30(1 - a)= 2055$,解得$a = \frac{135}{46}$;当图象PN经过点$(50,45)$时,得$50a + 30(1 - a)= 45$,解得$a = 0.75$.因为$a ＜ 2.9$,所以若$m$的值存在两个,则$a$的取值范围为$0.75 ＜ a ＜ 2.9$.