《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1:y= kx+b(k \neq 0) $ 与直线 $ l_2:y= 3x $ 交于点 A(1,a),与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 $ C(\frac{5}{2},0) $.
(1) 求直线 $ l_1 $ 的函数表达式.解:因为直线l₁:y = kx + b(k≠0)与直线l₂:y = 3x交于点A(1,a),所以点A(1,3).又因为点C($\frac{5}{2}$,0),所以直线l₁的函数表达式为y = - 2x + 5.
(2) 方程组 $ \begin{cases} y= 3x, \\ 2x+y= 5 \end{cases} $ 的解为______$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$.
(3) 在直线 $ l_2 $ 上是否存在一点 P,使得 $ S_{\triangle OCP}= 2S_{\triangle AOC} $? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:存在.设点P(m,3m),因为S△OCP = 2S△AOC,所以$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×|3m| = 2×$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3,解得m = ±2,所以点P的坐标为(2,6)或( - 2, - 6).

答案： 解:
(1)因为直线l₁:y = kx + b(k≠0)与直线l₂:y = 3x交于点A(1,a),所以点A(1,3).又因为点C($\frac{5}{2}$,0),所以直线l₁的函数表达式为y = - 2x + 5.
(2){x = 1,y = 3}
(3)存在.设点P(m,3m),因为S△OCP = 2S△AOC,所以$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×|3m| = 2×$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3,解得m = ±2,所以点P的坐标为(2,6)或( - 2, - 6).

9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题:已知函数 $ y= \begin{cases} x+1(x \geq 0), \\ -x-1(x＜0) \end{cases} $ 与方程 $ ax-2a-y= 0 $ 构成关于 x,y 的二元一次方程组.若该方程组有两组解,则 a 的取值范围是 (C)
A.$ -\frac{1}{2} \leq a＜-\frac{1}{3} $
B.$ -\frac{1}{2} \leq a＜\frac{1}{2} $
C.$ -1＜a \leq -\frac{1}{2} $
D.$ -1＜a \leq -\frac{1}{3} $

答案： C 提示:将ax - 2a - y = 0整理,得y = a(x - 2),令x = 2,得y = 0.所以直线y = a(x - 2)恒过定点(2,0),且随a值的不同绕点(2,0)旋转.如图,作出函数y = {x + 1(x≥0), - x - 1(x＜0)}的图象,当直线y = a(x - 2)与直线y = - x - 1平行时,可得a = - 1;当直线y = a(x - 2)过点(0,1)时,得1 = a(0 - 2),解得a = - $\frac{1}{2}$.观察图象发现,当 - 1＜a≤ - $\frac{1}{2}$时,直线y = a(x - 2)与函数y = {x + 1(x≥0), - x - 1(x＜0)}的图象有两个交点,即函数y = {x + 1(x≥0), - x - 1(x＜0)}与方程ax - 2a - y = 0构成的关于x,y的二元一次方程组有两组解.

10. 请你用在学习过程中积累的经验和方法研究函数 $ y= -2|x|+2 $ 的图象和性质,并解决问题.
(1) ①当 x= 0 时, $ y= -2|x|+2= 2 $.
②当 x＞0 时, $ y= -2|x|+2= $-2x + 2.
③当 x＜0 时, $ y= -2|x|+2= $2x + 2.
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中,作出函数 $ y= -2|x|+2 $ 的图象.
(3) 已知一次函数 $ y= kx+b $(k 为常数,k≠0)的图象经过点(1,3),若关于 x,y 的方程组 $ \begin{cases} y= kx+b, \\ y= -2|x|+2 \end{cases} $ 无解,请结合函数的图象,直接写出 k 的取值范围.-2≤k＜1且k≠0

答案： 解:
(1)② - 2x + 2 ③2x + 2
(2)如图所示.
(3) - 2≤k＜1且k≠0. 提示:如图,关于x,y的方程组{y = kx + b,y = - 2|x| + 2}无解,表示函数y = kx + b与y = - 2|x| + 2的图象没有交点.当k＞0时,一次函数呈上升状态,要保证函数y = kx + b与y = - 2|x| + 2的图象没有交点,临界位置如图中直线l₁所示,此时一次函数经过点(1,3)和点(0,2),k = 1,在此基础上将l₁绕点(1,3)顺时针旋转即符合题意,所以k的取值范围为0＜k＜1.当k＜0时,一次函数呈下降状态,要保证函数y = kx + b与y = - 2|x| + 2的图象没有交点,临界位置如图中直线l₂所示,此时一次函数的图象与直线y = - 2x + 2平行,k = - 2,在此基础上将l₂绕点(1,3)逆时针旋转即符合题意,且k = - 2时也符合题意,所以k的取值范围为 - 2≤k＜0.综上所述,k的取值范围为 - 2≤k＜1且k≠0.