《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

7. 【概念呈现】一个凸四边形的任一条对角线把原四边形分成两个三角形,若其中有一个三角形是等腰直角三角形,则把这条对角线叫作这个四边形的"等腰直角线",把这个四边形叫作"等腰直角四边形".当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形,若其中一个三角形是等腰直角三角形,另一个三角形是等腰三角形,则把这条对角线叫作这个四边形的"真等腰直角线",把这个四边形叫作"真等腰直角四边形".
(1)【概念理解】如图1,若AD= DB= DC= 1,BC= $\sqrt{2}$,则四边形ABCD______(填"是"或"不是")真等腰直角四边形.

(2)【性质应用】若四边形ABCD是真等腰直角四边形,且∠BDC= 90°,对角线BD是这个四边形的真等腰直角线,则当AD= $\sqrt{2}$,AB= 1时,BC^2= ______.
(3)【深度理解】如图2,四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形,∠BDC= 90°,∠ADE= 90°,BD＞AD＞AB,对角线BD,AD分别是这两个四边形的等腰直角线,试猜想并证明AC与BE的数量关系.

(4)【拓展提高】已知四边形ABCD是等腰直角四边形,对角线BD是这个四边形的等腰直角线,且∠DBC= 90°.若AD= 2,AB= 3,∠BAD= 45°,则AC= ______.

答案：
解:
(1)是
(2)4或2　提示:因为对角线BD是这个四边形的真等腰直角线,当AD=√2,AB=1时,因为△ABD是等腰三角形,所以当BD=AD=√2时,由勾股定理,得BC²=2BD²=4.当BD=AB=1时,由勾股定理，得BC²=2BD²=2.综上所述,BC²=4或BC²=2.
(3)AC=BE.证明如下:由题意知,△BDC和△ADE都是等腰直角三角形,所以BD=CD,AD=ED,∠BDC=∠ADE=90°,所以∠ADC=90°+∠ADB=∠EDB,所以△ADC≌△EDB(SAS),所以AC=BE.
(4)√22　提示:如图，将AB绕点B逆时针旋转90°,得到EB,连接AE,ED.同理
(3)可得△ACB≌△EBD(SAS),所以AC=ED.因为AB=3,△ABE是等腰直角三角形,所以AE=3√2,∠EAB=45°.因为∠DAB=45°,所以∠EAD=90°.由勾股定理，得ED=√(AE²+AD²)=√22,所以AC=√22.

8. 【项目背景】某校八年级兴趣小组对"勾股树"展开了研究.
素材一:毕达哥拉斯树,也叫"勾股树".是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形,因为重复数次后的形状好似一棵树,如图1所示,被称为"毕达哥拉斯树".
素材二:经过小组讨论,制定了如下规则:
1. 画出不同类型三角形形成的树形图；
2. 所画的基础三角形周长均为7cm,其中一条边长固定为2cm.
根据规则,三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究.
【解决问题】
(1) 如图2,小明画出了锐角△ABC,AB= AC,BC= 2cm,则$S_2= ______cm^2.$
(2) 如图3,小金画出了直角△DEF,∠DFE= 90°,EF= 2cm,计算$S_2$的值,并写出过程.
(3) 如图4,小山画出了钝角△GHI,∠GIH= 120°,HI= 2cm,则$S_2= ______cm^2.$

答案：
解:
(1)6.25
(2)根据题意,得DE+DF=7−EF=5.因为DE²−DF²=EF²=4,即(DE+DF)·(DE−DF)=4,所以DE−DF=4/5,所以DF=21/10.所以S₂=DF²=441/100.
(3)49/16　提示:如图,过点H作HM⊥GI,交GI的延长线于点M.因为∠GIH=120°,所以∠MHI=∠GIH−∠M=30°,所以IM=1/2 HI=1,所以HM=√(HI²−IM²)=√3.设GI=b,GH=a,则a+b=7−HI=5,GM=GI+IM=b+1.因为GH²−GM²=HM²,即a²−(b+1)²=(a+b+1)(a−b−1)=3,所以a−b=3/2,解得b=7/4,所以S₂=GI²=49/16.