《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 如图,关于一次函数 $ y= kx+3k+5(k \neq 0) $ 与 $ y= ax(a \neq 0) $ 的图象,下列说法正确的有 ( D )
① $ k＞0,a＜0 $;② $ y= ax(a \neq 0) $ 图象,y 随自变量 x 的增大而减小;③不论 k 为何值,一次函数 $ y= kx+3k+5(k \neq 0) $ 的图象都经过定点 A,且点 A 的坐标为 (-3,5);④方程组 $ \begin{cases} y= kx+3k+5, \\ y= ax \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x= -3, \\ y= 5. \end{cases} $

A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

答案： D

2. 在平面直角坐标系中,一般情况下,任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线.如图,已知过第一象限内点 A 的直线是方程 $ x-y= b(b＜-1) $ 的图象.若点 A 的坐标恰好为关于 x,y 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x-y= b, \\ ax-y= 1 \end{cases} $ 的解,则 a 的值可能是 (D)
A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： D 提示:易知直线y=x - b(b＜ - 1)和直线y=ax - 1的交点坐标即为二元一次方程组{x - y=b,ax - y=1}的解.其中直线y=ax - 1必过定点(0, - 1),画出图象,观察可知a＞1.

3. 如图,在平面直角坐标系中,线段 AB 的端点坐标为 A(-2,4),B(4,2),直线 $ y= kx-2 $ 与线段 AB 有交点,则 k 的值不可能是 (B)

A.-5
B.-2
C.3
D.5

答案： B 提示:易知y=kx - 2恒过点C(0, - 2).当直线y=kx - 2经过点A时,k= - 3;当直线y=kx - 2经过点B时,k=1.观察图象,可知k＞1或k＜ - 3.

4. 若直线 $ y= -2x-4 $ 与直线 $ y= 4x+b $ 的交点在第三象限,则 b 的取值范围是 (A)
A.-4＜b＜8
B.-4＜b＜0
C.b＜-4 或 b＞8
D.-4≤b≤8

答案： A 提示:由{y = - 2x - 4,y = 4x + b}解得{x = -$\frac{b + 4}{6}$,y = $\frac{b - 8}{3}$}.因为交点在第三象限,所以{-$\frac{b + 4}{6}$＜0,$\frac{b - 8}{3}$＜0},解得{b＞ - 4,b＜8},所以 - 4＜b＜8.

5. 如图,直线 $ y= -x+3 $ 与 $ y= mx+n $ 交点的横坐标为 1,若直线 $ y= mx+n $ 与 x 轴的所夹角为 45°,则关于 x,y 的方程组 $ \begin{cases} x+y= 3, \\ mx+y= n \end{cases} $ 解为 (D)
A.$ \begin{cases} x= 2, \\ y= 1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x= 1.5, \\ y= 1.5 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x= 1, \\ y= 2 \end{cases} $
D.无解

答案： D 提示:如图,对于y = - x + 3,当x = 1时,y = - 1 + 3 = 2,所以点C(1,2),BC = 2.因为∠BAC = 45°,所以∠BCA = 45°,所以AB = BC = 2.因为OB = 1,所以AO = AB - OB = 2 - 1 = 1,所以点A( - 1,0).把点A( - 1,0),C(1,2)代入y = mx + n,得{- m + n = 0,m + n = 2},解得{m = 1,n = 1},所以方程组{x + y = 3,mx + y = n}可变形为{x + y = 3,x + y = 1},所以该方程组无解.

6. 如图,已知函数 $ y= 2x+1 $ 和 $ y= -x-2 $ 的图象交于点 P,则方程 $ (2x-y)^2+(x+y)^2+8x+2y+5= 0 $ 的解为{x=-1,y=-1}.

答案： {x = - 1,y = - 1} 提示:方程(2x - y)²+(x + y)²+8x + 2y + 5 = 0可化为(2x - y + 1)²+(x + y + 2)² = 0,可得方程组{2x - y + 1 = 0,x + y + 2 = 0},由题图可知方程的解为{x = - 1,y = - 1}.

7. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO 的顶点 B 在 x 轴上,∠ABO= 90°,AB= OB,点 C(10,8)在边 AB 上,D 为 OB 的中点,P 为边 OA 上的动点(不与点 O,A 重合).下列说法正确的是______ (填序号).
①当点 P 运动到 OA 中点时,点 P 到 OB 和 AB 的距离相等;②当点 P 运动到 OA 的中点时,∠APC= ∠DPO;③当点 P 从点 O 运动到点 A 时,四边形 PCBD 的面积先变大再变小;④四边形 PCBD 的周长最小时,点 P 的坐标为 $ (\frac{50}{7},\frac{50}{7}) $.

①④

答案： ①④ 提示:由条件,得AB = OB = 10,OA = 10$\sqrt{2}$.过点P分别作PE⊥OB,PF⊥AB,垂足分别为E,F,则OE = PE,AF = PF.当点P运动到OA的中点时,AP = OP = 5$\sqrt{2}$,所以PE = OD = 5,PF = AF = 5.所以点E与点D重合,所以∠DPO = 45°.因为∠APC＜∠APF = 45°,所以①正确,②错误.设OE = PE = t,则PF = BE = 10 - t.连接BP,则S四边形PCBD = S△PDB+S△PBC = $\frac{1}{2}$BD·PE+$\frac{1}{2}$BC·PF = $\frac{5}{2}$t+$\frac{1}{2}$×8×(10 - t)=40 - $\frac{3}{2}$t.所以当点P从点O运动到点A时,四边形PCBD的面积一直在变小,所以③错误.如图,作点D关于OA的对称点D',连接PD',CD',则四边形PCBD的周长为PC + PD + BD + BC = PC + PD'+5 + 8 = PC + PD'+13≥CD'+13.所以当P为CD'与OA的交点时,四边形PCBD的周长最小.因为∠AOB = 45°,点D(5,0),所以点D'(0,5).又由条件可知,点A(10,10).所以直线OA的函数表达式为y = x,直线CD'的函数表达式为y = $\frac{3}{10}$x + 5.联立两函数表达式可解得x = $\frac{50}{7}$,y = $\frac{50}{7}$,即点P($\frac{50}{7}$,$\frac{50}{7}$),所以④正确.