《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

12. 解方程:
(1)$(3x+2)^{2}= 16$;
(2)$25(x+2)^{2}-36= 0$.

答案：
(1)开方，得3x+2=±4.所以3x=-2±4，解得$x=\frac{2}{3}$或x=-2.
(2)整理，得$(x+2)^{2}=\frac{36}{25}$.所以$x+2=±\frac{6}{5}$，解得$x=-\frac{16}{5}$或$x=-\frac{4}{5}$.

13. 小周是一位勤于思考、勇于创新的同学.在学习了平方根的有关知识后,他知道负数没有平方根.例如:因为没有一个数的平方等于$-1$,所以$-1$没有平方根.有一天,小周产生了这样的想法:假设存在一个数$\text{i}$,使$\text{i}^{2}= -1$,那么$(-\text{i})^{2}= -1$,因此$-1就有两个平方根\text{i}和-\text{i}$了.进一步想到:因为$(\pm2\text{i})^{2}= (\pm2)^{2}\cdot\text{i}^{2}= -4$,所以$-4的平方根是\pm2\text{i}$;因为$(\pm3\text{i})^{2}= (\pm3)^{2}\cdot\text{i}^{2}= -9$,所以$-9的平方根是\pm3\text{i}$.请你根据上面提供的材料解答下列问题.
(1)求$-16$,$-25$,$-3$的平方根.
(2)求$\text{i}^{3}$,$\text{i}^{4}$,$\text{i}^{5}$,$\text{i}^{6}$,$\text{i}^{7}$,$\text{i}^{8}$的值,你发现了什么规律?将你发现的规律用文字表达出来.

答案：
(1)-16的平方根为±4i，-25的平方根为±5i，-3的平方根为$±\sqrt{3}i$.
(2)$i^{3}=-i$，$i^{4}=1$，$i^{5}=i$，$i^{6}=-1$，$i^{7}=-i$，$i^{8}=1$.
规律如下:i每四次方一个循环.即i，-1，-i，1.

14. (1)求$\sqrt{2^{2}}$,$\sqrt{(-3)^{2}}$,$\sqrt{5^{2}}$,$\sqrt{(-6)^{2}}$,$\sqrt{7^{2}}$,$\sqrt{0^{2}}$的值.对于任意数$a$,$\sqrt{a^{2}}$等于多少?
(2)求$(\sqrt{4})^{2}$,$(\sqrt{9})^{2}$,$(\sqrt{25})^{2}$,$(\sqrt{36})^{2}$,$(\sqrt{49})^{2}$,$(\sqrt{0})^{2}$的值.对于任意非负数$a$,$(\sqrt{a})^{2}$等于多少?

答案：
(1)$\sqrt{2^{2}}=2$，$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3$，$\sqrt{5^{2}}=5$，$\sqrt{(-6)^{2}}=\sqrt{36}=\sqrt{6^{2}}=6$，$\sqrt{7^{2}}=7$，$\sqrt{0^{2}}=0$.$\sqrt{a^{2}}=|a|=\left\{\begin{array}{l} a(a\geq0),\\ -a(a＜0).\end{array}\right.$
(2)$(\sqrt{4})^{2}=4$，$(\sqrt{9})^{2}=9$，$(\sqrt{25})^{2}=25$，$(\sqrt{36})^{2}=36$，$(\sqrt{49})^{2}=49$，$(\sqrt{0})^{2}=0$.$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)$.

15. 若记$[x]$表示任意一个数的整数部分,例如:$[4.2]= 4$,$[\sqrt{2}]= 1$,…$$,则$[\sqrt{1}]-[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]-[\sqrt{4}]+…+[\sqrt{2021}]-[\sqrt{2022}]+[\sqrt{2023}]-[\sqrt{2024}]$(其中“+”“-”依次相间)的值为______-22.

答案： -22 提示:因为44×44=1936，45×45=2025，且$[\sqrt{n^{2}}]=n$，…，$[\sqrt{(n+1)^{2}-1}]=n$，共有(2n+1)项，所以$[\sqrt{1}]-[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]-[\sqrt{4}]+\cdots+[\sqrt{2021}]-[\sqrt{2022}]+[\sqrt{2023}]-[\sqrt{2024}]=(1-2)+(3-4)+\cdots+(43-44)=-1-1-\cdots-1=-22$.

16. 阅读材料:
$\sqrt{1}和\sqrt{4}$为整数,$4-1= 3= 2×1+1$;
$\sqrt{4}和\sqrt{9}$为整数,$9-4= 5= 2×2+1$;
$\sqrt{9}和\sqrt{16}$为整数,$16-9= 7= 2×3+1$;
…
小明发现结论:若$\sqrt{a}和\sqrt{b}$为相邻的两个整数,其中$a\lt b$,则有$b-a= 2\sqrt{a}+1$.并给出了证明:
因为$\sqrt{a}和\sqrt{b}$为相邻的两个整数,所以$\sqrt{a}+1= \sqrt{b}$.等式两边同时平方,得$a+2\sqrt{a}+1= b$.
__移项__,得__$b-a=2\sqrt{a}+1$__.
请根据以上材料,解决以下问题:
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若$\sqrt{a}和\sqrt{a+11}$为两个相邻整数,则$a= $__25__.
(3)若$\sqrt{a}和\sqrt{a+216}$为相差4的两个整数,求$a$的值.
解:因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+216}$为相差4的两个整数，所以$\sqrt{a}+4=\sqrt{a+216}$.等式两边同时平方，得$a+8\sqrt{a}+16=a+216$，所以$\sqrt{a}=25$，所以a=625.

答案：
(1)移项 b-a=2$\sqrt{a}$+1
(2)25 提示:因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+11}$为两个相邻整数，所以$a+11-a=2\sqrt{a}+1$，所以$\sqrt{a}=5$，所以a=25.
(3)解:因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+216}$为相差4的两个整数，所以$\sqrt{a}+4=\sqrt{a+216}$.等式两边同时平方，得$a+8\sqrt{a}+16=a+216$，所以$\sqrt{a}=25$，所以a=625.