《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

7. [创新意识]【阅读】小明在某课外书上看到一篇有趣的短文《直角三角形的斜边和一条直角边会相等吗？》,部分内容如下：
如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,作∠BAC的平分线AO,作BC的垂直平分线OD,两线交于点O.连接OB,OC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
可以依次证得如下结论：①△AOE≌△AOF；②△BOE≌△COF；③AE+EB= AF+FC,即AB= AC.因此直角三角形的斜边和一条直角边是相等的.
【探究】解答下列问题：
(1)小明按照文中所给思路尝试推导,发现结论①②③都成立,请你写出小明的推导过程.
(2)小明认为,如果“直角三角形的斜边和一条直角边相等”成立,会与已学过的某些定理矛盾,你认为小明的观点是否正确,请举例并进行简要分析.
(3)小明知道直角三角形中斜边一定大于直角边,但是他找不出短文中的“破绽”,请你帮助小明具体指出问题所在,并运用所学知识解释.

答案：
(1)①因为AO平分∠BAC,所以∠EAO=∠FAO.因为OE⊥AB,OF⊥AC,所以∠AEO=∠AFO=90°,所以△AOE≌△AOF(AAS).②因为OD垂直平分BC,所以OC=OB,所以Rt△BOE≌Rt△COF(HL).③因为△AOE≌△AOF,所以AE=AF.因为Rt△BOE≌Rt△COF,所以EB=FC,所以AE+EB=AF+FC,即AB=AC.
(2)小明的观点正确,与已学过的“勾股定理”“三角形的内角和定理”“垂线段最短”等矛盾(答案不唯一),例如:由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,所以$AB^{2}＞AC^{2}$,所以AB＞AC,因此AB=AC与勾股定理得出的AB＞AC相矛盾,故AB=AC不正确;由三角形内角和定理,若AB=AC,则∠ABC=∠ACB=90°,所以∠ABC+∠ACB=180°,所以∠BAC+∠ABC+∠ACB＞180°,因此与三角形的内角和定理相矛盾,故AB=AC不正确;由垂线段最短,得AB＞AC,因此AB=AC与垂线段最短相矛盾.
(3)短文中给出的图形不正确,图中AO与OD的交点O应在△ABC的外部.理由如下:如图,设AO的延长线交BC于点M,过点M作MF⊥AB于点F.因为AM平分∠BAC,MF⊥AB,∠ACB=90°,所以MF=MC.在Rt△MBF中,∠MFB=90°,所以∠MFB＞∠B,所以BM＞MF,所以BM＞MC,所以点M在BC的中点的下方,所以AO与OD的交点O在△ABC的外部.