《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 比较$2,\sqrt{5},\sqrt[3]{7}$的大小,正确的是 (C)
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$

答案： C

2. 已知点$M(a,b),N(c,d)$是一次函数$y= 2x+1$图象上的两个点,若点$P(3a,3b)$在如图所示的位置,则下列可能表示$(3c,3d)$的点是 (B)

A.A
B.B
C.C
D.D

答案： B 提示:因为点M(a,b)在直线y=2x+1上,所以b=2a+1.所以点P(3a,6a+3),所以点P在直线y=2x+3上.同理,点(3c,3d)也在直线y=2x+3上.易知直线y=2x+3与直线y=2x+1平行.连接PA,PB,PC,PD.由题图可知,只有直线PB与直线y=2x+1平行,所以表示(3c,3d)的点是B.

3. 已知直线$y= kx+3与直线y= ax+6的交点横坐标是-3$,现有下列结论：①$k＞0$；②$|k|＜|a|$；③方程$kx+3= ax+6的解是x= -3$；④不等式$kx+3＞ax+6的解集是x＜-3$.其中所有正确结论的序号是 ( )

A.①②
B.②③
C.③④
D.③

答案：
C 提示:根据题意画出几种可能的图象,如图所示.由图象可知,①②错误,③④正确.
　　
　　　　　

4. 如图,一次函数$y= x+4的图象与x$轴、$y轴分别交于点A,B$,$C是线段AO$上一定点,$E,F分别为直线y= x+4和y$轴上的两个动点,当$\triangle CEF$周长的最小值为6时,点$C$的坐标为 (B)
A.$(-1,0)$
B.$(-\sqrt{2},0)$
C.$(-\sqrt{3},0)$
D.$(-2,0)$

答案： B 提示:分别作点C关于y轴和直线y=x+4的对称点G,D,连接AD,DG,交AB于点E,交y轴于点F,所以DE=CE,GF=CF,所以CE+CF+EF=DE+GF+EF≥DG,当点D,E,F,G在同一直线上时,△CEF的周长最小,为DG=6.易求点A(-4,0),B(0,4),所以OA=OB,△AOB是等腰直角三角形.因为点C,D关于AB对称,所以∠DAB=∠BAC=45°,所以∠DAC=90°.设点C(-c,0),则AD=AC=-c+4,OG=OC=c,所以AG=AO+OG=4+c.在Rt△ADG中,由勾股定理,得DG²=AD²+AG²,即6²=(4-c)²+(4+c)²,解得c=√2(负值已舍),即点C(-√2,0).

5. 定义：在平面直角坐标系中,若点$A到x$轴、$y$轴的距离之和为2,则称点$A$为“成双点”.例如：如图,点$B(-1.5,0.5)到x$轴、$y轴的距离分别为0.5,1.5$,距离之和为2,则点$B$是“成双点”；点$C(1,1)$,$D(-0.8,-1.2)$也是“成双点”.一次函数$y= kx+b(k≠0)的图象l经过点(-3,-4)$,且图象$l$上存在“成双点”,则$k$的取值范围为 ( )

A.$\frac{2}{3}\leqslant k\leqslant 2$
B.$\frac{4}{5}\leqslant k\leqslant 2$
C.$\frac{4}{5}\leqslant k\leqslant 4$
D.$\frac{2}{3}\leqslant k\leqslant 4$

答案：
D 提示:如图,取点E(-2,0),F(2,0),G(0,-2),H(0,2),连接EG,FG,EH,FH.在线段EG上取点P,过点P分别作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N,则PN=OM.因为OE=OF=OG=2,所以△OEG,△OFG均为等腰直角三角形,所以∠OEG=45°,所以△PEM为等腰直角三角形,所以PM=EM,所以PM+PN=OE=2,所以P是“成双点”,即线段EG上的点均为“成双点”.同理,线段FG,EH,FH上的点也均为“成双点”.因为一次函数的图象l经过点(-3,-4),所以观察图象可知,当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l与线段EG有交点时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l上存在“成双点”.又因为-3k+b=-4,解得b=3k-4,所以一次函数的表达式为y=kx+3k-4.当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E时,-2k+3k-4=0,解得k=4;当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时,3k-4=-2,解得k=2/3.所以k的取值范围为2/3≤k≤4.
　　　

6. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle A= 90^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$BE平分\angle DBC$,$M,N分别为射线BE,BC$上的动点.若$BD= 8$,则$CM+MN$的最小值为(A)
A.4
B.6
C.8
D.10

答案： A 提示:作点N关于BE的对称点N',则MN=MN',过点C作CF⊥BD,交BD的延长线于点F,过点D作DG⊥BC于点G.因为CM+MN=CM+MN'≥CN'≥CF,所以当C,M,N'三点共线,且CN'⊥BD时,CM+MN的值最小,最小值为CF的长.因为BD平分∠ABC,AD⊥AB,DG⊥BC,所以AD=DG.易证△CDG是等腰直角三角形,所以CD=√2DG=√2AD.设AD=a,则AB=AC=AD+CD=(1+√2)a,BC=√2AC=(√2+2)a.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD²=AD²+AB²,即8²=a²+[(1+√2)a]²,解得a²=32-16√2.因为S△BDC=1/2BC·DG=1/2BD·CF,所以CF=(BC·DG)/BD=((√2+2)a·a)/8=((√2+2)(32-16√2))/8=(32√2-32+64-32√2)/8=4.

7. 已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 8$,$\angle BAC= 30^{\circ}$.将$\triangle ABC绕点A$逆时针旋转,使点$B落在原\triangle ABC的点C$处,此时点$C落在点D$处.延长线段$AD$,交原$\triangle ABC的边BC的延长线于点E$,那么线段$DE$的长等于______.

答案：
4√3-4 提示:如图,过点C作CH⊥AD,垂足为H.因为△ABC绕点A逆时针旋转得到△ACD,所以AB=AC=AD=8,∠BAC=∠CAD=30°,CH=1/2AC=4.所以AH=√(AC²-CH²)=4√3,∠B=∠ACB=∠ACD=∠ADC=75°.所以∠E=∠ACB-∠CAD=45°,所以HE=CH=4,所以AE=4√3+4.因为AD=8,所以DE=AE-AD=4√3+4-8=4√3-4.
　　　　　　

8. 观察以下几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41.请寻找规律,写出第$n$组勾股数：2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1.

答案： 2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1