《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版巅峰版》

7. 如图1,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,CA= CB,CE= CD,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上,连接BD.
(1) 求证:△AEC≌△BDC.
(2) 求证$:AE^2+AD^2= 2AC^2.$
(3) 如图2,过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F,请写出线段AE,AF,DF之间的数量关系,并给出证明.

答案：
(1)证明:因为∠ECD=∠ACB=90°,即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,所以∠ACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中,$\left\{\begin{array}{l} CA=CB\\ ∠ACE=∠BCD\\ CE=CD\end{array}\right. $,所以△AEC≌△BDC.
(2)证明:因为△AEC≌△BDC,所以AE=BD,∠CDB=∠E=45°.又因为∠CDE=45°,所以∠ADB=∠CDE+∠CDB=90°,在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD²+BD²=AB².在Rt△ACB中,根据勾股定理,得CA²+CB²=AB²,又因为CA=CB,BD=AE,所以AE²+AD²=2AC².
(3)解:AE²+DF²=AF².证明如下:
　　连接BF.由
(2)得AE=BD,∠FDB=90°.因为CF⊥AB,CA=CB,所以AO=BO.所以CF垂直平分AB，所以AF=BF.在Rt△BDF中,根据勾股定理,得BD²+DF²=BF²,所以AE²+DF²=AF².

8. 若a,b,c是Rt△ABC的三边长(c为斜边),且∠C= 90°,h是斜边上的高,现有下列说法$:①a^2,b^2,c^2$能组成三角形;②c+h,a+b,h能组成直角三角形;③1/a,1/b,1/h能组成直角三角形.其中正确的有(C)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： C　提示:①因为a²+b²=c²,不符合三角形的两边之和大于第三边，所以a²,b²,c²不能组成三角形,所以①错误;②因为(c + h)² - h²=c²+2ch,ch=ab,所以c²+2ch=c²+2ab,因为a²+b²=c²,所以c²+2ch=a²+b²+2ab=(a + b)²,所以(c + h)² - h²=(a + b)²,即h²+(a + b)²=(c + h)²,所以c + h,a + b,h能组成直角三角形，所以②正确;③因为$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}h^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$,所以③正确.

9. 【阅读材料】在△ABC中,BC= a,AC= b,AB= c.
如图1,若∠C= 90°,则有$a^2+b^2= c^2.$
当△ABC为锐角三角形时,小明猜想$:a^2+b^2＞c^2.$理由如下:
如图2,过点A作AD⊥CB于点D,设CD= x.
在Rt△ADC中$,AD^2= b^2-x^2;$在Rt△ADB中$,AD^2= c^2-(a-x)^2.$
所以$a^2+b^2= c^2+2ax.$
因为a＞0,x＞0,所以2ax＞0,所以$a^2+b^2＞c^2.$
所以当△ABC为锐角三角形时$,a^2+b^2＞c^2.$小明的猜想是正确的.
【解决问题】如图3,试猜想:当△ABC为钝角三角形时$,a^2+b^2$与$c^2$的大小关系.并证明你的猜想.

答案： 解:当△ABC为钝角三角形时,a²+b²与c²的大小关系为a²+b²＜c².证明如下:过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD²=b² - x²;在Rt△ADB中,AD²=c² - (a + x)².所以b² - x²=c² - (a + x)²,所以a²+b²=c² - 2ax.因为a＞0,x＞0,所以2ax＞0,所以a²+b²＜c².所以当△ABC为钝角三角形时,a²+b²＜c².