《2025年暑假作业河北美术出版社七年级数学人教版》

26. 将一副三角尺按如图所示的方式放置,已知$PQ// MN,∠ACB= ∠EDF= 90^{\circ },∠ABC= ∠BAC= 45^{\circ },∠DFE= 30^{\circ },∠DEF= 60^{\circ }$.
【发现】
(1)如图①,补全小明求解$∠α$的过程.
过点$E作EG// PQ$,则$∠DEG= $∠α(两直线平行,内错角相等).
$\because PQ// MN$(已知),
$\therefore EG// MN$(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
$\therefore ∠GEA= ∠BAC= 45^{\circ }$(两直线平行，内错角相等).
$\because ∠DEA= ∠DEG+∠GEA$(两角和的定义),
$\therefore 60^{\circ }=∠α+45^{\circ }$(等量代换).
$\therefore ∠α=15^{\circ }$(等式的性质).
【探究】
(2)如图②,作$∠QDF和∠DFA的平分线交于点H$.
①过点$F作FK// MN$,求$∠HFK$的度数;
②求$∠DHF$的度数.
【拓展】
(3)如图③,现固定三角尺$DEF$,将三角尺$ABC$从如图①所示的位置开始绕点$A顺时针转动至AC与直线AN$首次重合时停止.在转动过程中,当$BC与三角尺DEF$的一条边所在的直线平行时,请直接写出$∠BAM$的度数.

答案：
(1)$∠α$ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，内错角相等
(2)①$∵FK//MN$，$∠CAB = 45°$，$∴∠KFA = ∠CAB = 45°$。$∵∠DFE = 30°$，$∴∠DFA = 150°$。$∵FH$是$∠DFA$的平分线，$∴∠HFA = \frac{1}{2}∠DFA = 75°$。$∴∠HFK = ∠HFA - ∠KFA = 75° - 45° = 30°$。②$∵∠PDE = 15°$，$∠EDF = 90°$，$∴∠FDQ = 180° - ∠PDE - ∠EDF = 75°$。$∵DH$平分$∠FDQ$，$∴∠FDH = \frac{1}{2}∠FDQ = 37.5°$。$∵∠DFH = ∠HFA = 75°$，$∴∠DHF = 180° - ∠FDH - ∠DFH = 67.5°$。
(3)$∠BAM$的度数为$30°$或$90°$或$120°$。