《2025年中职一年级假期作业语文数学英语》

9. 连续抛掷 2 枚均匀的硬币,计算：①基本事件的总数；②出现“恰有 1 枚正面朝上”的概率；③出现“2 枚正面都朝上”的概率,以下答案全对的一项是(A)。
A.$ 4, \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 4 } $
B.4,2,4
C.2,4,$ \frac { 1 } { 2 } $
D.$ 4, \frac { 1 } { 4 }, \frac { 1 } { 2 } $

答案： A 【解析】①全部基本事件为“正，正”“正，反”“反，正”“反，反”；②设 $ A $ 为事件“恰有 1 枚正面朝上”，$ A $ 包含的基本事件是“正，反”，“反，正”，则 $ P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } $；③设 $ B $ 为事件“2 枚正面都朝上”，$ B $ 包含的基本事件是“正，正”，则 $ P ( B ) = \frac { 1 } { 4 } $.

10. 若正四棱柱 $ A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } $ 的底面边长为 1,$ A B _ { 1 } $ 与底面 $ A B C D $ 成 $ 60 ^ { \circ } $ 角,则 $ A _ { 1 } C _ { 1 } $ 到底面 $ A B C D $ 的距离为()。

A.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $
B.1
C.$ \sqrt { 2 } $
D.$ \sqrt { 3 } $

答案：
D 【解析】如图所示，$ A B = 1 $，$ \angle B _ { 1 } A B = 60 ^ { \circ } $，$ B _ { 1 } B = A _ { 1 } A = \sqrt { 3 } $，直线 $ A _ { 1 } C _ { 1 } $ 与底面 $ A B C D $ 的距离即为 $ A _ { 1 } A = \sqrt { 3 } $，故选 D.

1. 已知 $ A = \{ x | - 2 \leq x \leq 5 \} $,$ B = \{ x | a + 1 \leq x \leq 2 a - 1 \} $,$ B \subseteq A $,则实数 $ a $ 的取值范围______$ ( - \infty, 3 ] $。

答案： $ ( - \infty, 3 ] $ 【解析】当 $ B = \varnothing $ 时，有 $ a + 1 ＞ 2 a - 1 $，即 $ a ＜ 2 $；当 $ B \neq \varnothing $
时，有 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 a - 1 \geq a + 1 } \\ { a + 1 \geq - 2 } \\ { 2 a - 1 \leq 5 } \end{array} \right. $，解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a \geq 2 } \\ { a \geq - 3 } \\ { a \leq 3 } \end{array} \right. $，所以 $ 2 \leq a \leq 3 $，综上可知 $ a \leq 3 $，所以 $ a $ 的范围是 $ ( - \infty, 3 ] $.

2. 函数 $ y = \lg ( x ^ { 2 } - 2 x ) + \sqrt { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } $ 的定义域是$ ( - \infty, 0 ) \cup ( 2, + \infty ) $。

答案： $ ( - \infty, 0 ) \cup ( 2, + \infty ) $ 【解析】由已知条件得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - 2 x ＞ 0 } \\ { x ^ { 2 } - 3 x + 2 \geq 0 } \end{array} \right. $，即
$ \left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 2 \text { 或 } x ＜ 0 } \\ { x \geq 2 \text { 或 } x \leq 1 } \end{array} \right. $，所以 $ x ＞ 2 $ 或 $ x ＜ 0 $.

3. 已知 $ f ( x ) $ 是一次函数,且 $ f [ f ( x ) ] = 4 x + 3 $,则 $ f ( x ) = $$ 2 x + 1 $ 或 $ - 2 x - 3 $。

答案： $ 2 x + 1 $ 或 $ - 2 x - 3 $ 【解析】设 $ f ( x ) = a x + b ( a \neq 0 ) $，则 $ f [ f ( x ) ] $
$ = f ( a x + b ) = a ( a x + b ) + b = a ^ { 2 } x + a b + b = 4 x + 3 $，所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 4 } \\ { a b + b = 3 } \end{array} \right. $，
解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 2 } \\ { b = 1 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = - 2 } \\ { b = - 3 } \end{array} \right. $，故所求的函数解析式为 $ f ( x ) = 2 x + 1 $ 或 $ f ( x ) $
$ = - 2 x - 3 $.

4. 若 $ \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 } $,且 $ \alpha $ 是第四象限角,则 $ \cos \left( \alpha + \frac { \pi } { 2 } \right) = $______$\frac{2\sqrt{6}}{5}$。

答案： $ \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 } $ 【解析】因为 $ \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 } $，且 $ \alpha $ 是第四象限角，所以 $ \sin \alpha = - \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \alpha } = - \sqrt { 1 - ( \frac { 1 } { 5 } ) ^ { 2 } } = - \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 } $，所以 $ \cos ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } ) = - \sin \alpha = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 } $.

5. 函数 $ y = 2 - \frac { 3 } { 5 } \cos x $ 取得最大值时对应的 $ x $ 的值为$ ( 2 k + 1 ) \pi ( k \in \mathbf { Z } ) $。

答案： $ ( 2 k + 1 ) \pi ( k \in \mathbf { Z } ) $ 【解析】当 $ \cos x = - 1 $ 时，即 $ x = ( 2 k + 1 ) \pi ( k \in \mathbf { Z } ) $ 时，函数 $ y = 2 - \frac { 3 } { 5 } \cos x $ 取得最大值 $ \frac { 13 } { 5 } $.

1. 已知函数 $ f ( x ) = \log _ { 2 } ( x + 1 ) $,$ g ( x ) = \log _ { 2 } ( 3 x + 1 ) $。
(1)求出使 $ g ( x ) \geq f ( x ) $ 成立的 $ x $ 的取值范围。
(2)在(1)的范围内求 $ y = g ( x ) - f ( x ) $ 的最小值。

答案： 解：（1）由 $ \log _ { 2 } ( 3 x + 1 ) \geq \log _ { 2 } ( x + 1 ) $，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 1 \geq x + 1 } \\ { 3 x + 1 ＞ 0 } \\ { x + 1 ＞ 0 } \end{array} \right. $，即
$ \left\{ \begin{array} { l } { x \geq 0 } \\ { x ＞ - \frac { 1 } { 3 } } \\ { x ＞ - 1 } \end{array} \right. $，解得 $ x \geq 0 $，所以使 $ g ( x ) \geq f ( x ) $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ [ 0, + \infty ) $.
（2）$ y = g ( x ) - f ( x ) = \log _ { 2 } ( 3 x + 1 ) - \log _ { 2 } ( x + 1 ) = \log _ { 2 } \frac { 3 x + 1 } { x + 1 } = \log _ { 2 } ( 3 - \frac { 2 } { x + 1 } ) $，因为 $ x \geq 0 $，所以 $ 1 \leq 3 - \frac { 2 } { x + 1 } ＜ 3 $，又因为 $ y = \log _ { 2 } x $ 在 $ x \in ( 0, + \infty ) $ 上单调递增，所以当 $ x \geq 0 $ 时，$ y = \log _ { 2 } ( 3 - \frac { 2 } { x + 1 } ) \geq \log _ { 2 } 1 = 0 $，即 $ y = g ( x ) - f ( x ) $ 的最小值为 0.