《2025年中职一年级假期作业语文数学英语》

1. 已知两点$A(-5,4)$、$B(1,-6)$,以线段$AB$为直径的圆的一般方程为$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 29 = 0$.

答案： $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 29 = 0$ 【解析】圆心为（-2，-1），半径$= \frac{1}{2}AB = \sqrt{34}$，$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 34$，得$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 29 = 0$．

2. 已知圆$x^{2}+y^{2}+4x + Ey - 3 = 0$的半径为3，则$E$的值为$\pm 2\sqrt{2}$.

答案： $\pm 2\sqrt{2}$ 【解析】半径$r = \frac{\sqrt{16 + E^2 + 12}}{2} = 3$，得$E = \pm 2\sqrt{2}$．

3. 与定点$(1,0)的距离等于4$的点的轨迹方程是$(x - 1)^2 + y^2 = 16$.

答案： $(x - 1)^2 + y^2 = 16$ 【解析】为以圆心（1，0）、半径为4的圆，即$(x - 1)^2 + y^2 = 16$．

4. 圆心既在直线$x - y = 0$上,又在直线$x + y - 4 = 0$上,且经过原点的圆的方程是$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8$.

答案： $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8$ 【解析】由$\begin{cases}x - y = 0 \\ x + y - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2\end{cases}$，所以圆心坐标为（2，2），半径$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，故所求圆的方程为$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8$．

5. 若点$P(2,-1)为圆(x - 1)^{2}+y^{2}= 25的弦AB$的中点,则直线$AB$的方程是$x - y - 3 = 0$.

答案： $x - y - 3 = 0$ 【解析】P为弦AB的中点，所以$OP \perp AB$，又O（1，0），P（2，-1），所以$k_{OP} = \frac{1}{-1} = -1$，所以$k_{AB} = 1$，故直线AB的方程为$y + 1 = x - 2$，即$x - y - 3 = 0$．

1. 已知直线$3x + 4y + k = 0与圆x^{2}+y^{2}+2x - 4y - 4 = 0$,若直线与圆相交,求$k$的取值范围.

答案： 解：将圆的一般方程$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$配方得$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$，所以圆心坐标为（-1，2），半径为3，因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，代入点到直线的距离公式得$\frac{|5 + k|}{5} ＜ 3$，化简得$-15 ＜ 5 + k ＜ 15$，即$-20 ＜ k ＜ 10$．

2. 已知直线$l_{1}过点(1,3)且与直线l_{2}:x - y = 0$垂直.
(1)求直线$l_{1}$的方程；
(2)已知圆$C的圆心在y$轴上,且圆$C与直线l_{1}$,$l_{2}$均相切,求圆$C$的方程.

答案： 解：（1）因为直线$l_1$与直线$l_2$垂直，$k_2 = -\frac{A}{B} = 1$，所以$k_1 = (-1) ÷ k_2 = -1$，又因为$l_1$过点（1，3），所以直线$l_1$的方程为$y - 3 = (-1) × (x - 1)$，即$x + y - 4 = 0$．
（2）因为圆C的圆心在y轴上，所以设C点坐标为（0，m），又因为圆C与直线$l_1$、$l_2$均相切，所以圆心C到两条直线的距离相等，即：$\frac{|0 + m - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|0 - m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$，解得$|m - 4| = |-m|$，
当$m \geq 4$时，有$m - 4 = m$，无解；
当$0 \leq m ＜ 4$时，有$4 - m = m$，解得$m = 2$；
当$m ＜ 0$时，有$4 - m = -m$，无解．
综上所述：$m = 2$，所以圆心坐标为（0，2），半径$r = \frac{|0 + 2 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，所以圆C的方程为$x^2 + (y - 2)^2 = 2$．