《2025年中职一年级假期作业语文数学英语》

6. 球.
(1) 以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周,所形成的曲面称为球面,球面所围成的几何体称为球体,简称“球”,半圆的圆心称为球心,半圆的半径称为球的半径.
(2) 球的截面是圆面,并且球心与截面圆心的连线垂直于截面.
(3) 经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆,不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆.
(4) 球表面积的计算公式为$ S_{球} = 4\pi R^2 $（$ R $ 表示球的半径）.
(5) 球体积的计算公式为$ V_{球} = \frac{4}{3}\pi R^3 $（$ R $ 表示球的半径）.

答案： 6.
(1) 曲面，球面，圆心
(2) 截面，垂直
(3) 圆，圆
(4) $ S_{球} = 4\pi R^2 $（$ R $ 表示球的半径）
(5) $ V_{球} = \frac{4}{3}\pi R^3 $（$ R $ 表示球的半径）

1. 侧棱长是 2 的正三棱锥,其底面边长是 1,则棱锥的高为(D).
A.$\frac { \sqrt { 11 } } { 3 }$
B.$\frac { \sqrt { 13 } } { 3 }$
C.$\frac { \sqrt { 39 } } { 3 }$
D.$\frac { \sqrt { 33 } } { 3 }$

答案： D 【解析】正三棱锥顶点在底面的射影点在底面中线上，因为底面是正三角形，故底面顶点至射影点的距离 $ d = \frac{2}{3} $ 底面高 $ = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，则棱锥的高 $ h = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3} $。

2. 球的表面积扩大到原来的 2 倍,则球的体积扩大到原来的(B)倍.
A.2
B.$2 \sqrt { 2 }$
C.$\sqrt { 2 }$
D.8

答案： B 【解析】$ S_{球} = 4\pi R^2 $，$ V_{球} = \frac{4}{3}\pi R^3 $ 表面积扩大 2 倍，实际半径扩大 $ \sqrt{2} $ 倍，故体积扩大 $ 2\sqrt{2} $ 倍。

3. 圆柱的侧面展开图为边长是 2 或 4 的矩形,则圆柱的体积为(C).
A.$\frac { 4 } { \pi }$
B.$\frac { 8 } { \pi }$
C.$\frac { 4 } { \pi }或\frac { 8 } { \pi }$
D.$\frac { 4 } { \pi }或\frac { 6 } { \pi }$

答案： C 【解析】当高 $ h = 4 $ 时，$ 2\pi r = 2 $，$ r = \frac{1}{\pi} $，体积 $ = \pi \cdot (\frac{1}{\pi})^2 \cdot 4 = \frac{4}{\pi} $；当高 $ h = 2 $ 时，$ 2\pi r = 4 $，$ r = \frac{2}{\pi} $，体积 $ = \pi \cdot (\frac{2}{\pi})^2 \cdot 2 = \frac{8}{\pi} $。

4. 侧棱长为 a 的正四棱锥,如果底面周长是 4a,则这个棱锥的侧面积是(B).
A.$5 a ^ { 2 }$
B.$\sqrt { 3 } a ^ { 2 }$
C.$\frac { \sqrt { 3 } + 1 } { 2 } a ^ { 2 }$
D.$( \sqrt { 3 } + 1 ) a ^ { 2 }$

答案： B 【解析】底面边长为 $ a $，棱锥侧高 $ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，则侧面积 $ = \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot a \cdot \frac{1}{2} × 4 = \sqrt{3}a^2 $。