《2025年中职一年级假期作业语文数学英语》

1. 下列关系中,正确的个数为2.
① $ \frac{1}{2} \in \mathbf{R} $；② $ \sqrt{2} \notin \mathbf{Q} $；③ $ | - 3 | \notin \mathbf{N}^* $；④ $ | - \pi | \in \mathbf{Q} $.

答案： 1. $2$ 【解析】显然$\frac{1}{2}\in\mathbf{R}$，①正确；$\sqrt{2}\notin Q$，②正确；$|-3| = 3\in\mathbf{N}^*$，$|-\pi|=\pi\notin Q$，③④不正确

2. 已知 $ P = \{ x | 2 ＜ x ＜ a, x \in \mathbf{N} \} $,已知集合 $ P $ 中恰有 3 个元素,则整数 $ a = $6.

答案： 2. $6$ 【解析】用数轴分析可知$a = 6$时，集合$P$中恰有$3$个元素$3$，$4$，$5$

3. 已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{R} | ax^2 + x + 2 = 0 \} $,若 $ A $ 中至多有一个元素,则 $ a $ 的取值范围为$\{a|a = 0$或$a\geq\frac{1}{8}\}$.

答案： 3. $\{a|a = 0$或$a\geq\frac{1}{8}\}$ 【解析】因为$ax^2 + x + 2 = 0$是二次项系数含变量的方程，所以当$a = 0$时，$x = - 2$符合题意；当$a\neq0$时，要使$A$中至多含有一个元素，即$A$中只有一个元素或无元素，所以只需$\Delta = 1 - 8a\leq0$，解得$a\geq\frac{1}{8}$，所以$a$的取值范围为$\{a|a = 0$或$a\geq\frac{1}{8}\}$

4. 已知 $ A = \{ x | x^2 - 2x - 3 = 0 \} $,$ B = \{ x | ax - 1 = 0 \} $,若 $ B \subsetneqq A $,则 $ a $ 的值为$0$，$-1$，$\frac{1}{3}$.

答案： 4. $0$，$-1$，$\frac{1}{3}$ 【解析】根据题意可知$A = \{-1,3\}$，因为$B\subsetneqq A$，所以$B = \varnothing$或$\{-1\}$或$\{3\}$，当$B = \varnothing$时，$a = 0$；当$B = \{-1\}$时，$a = - 1$；当$B = \{3\}$时，$a = \frac{1}{3}$

5. 方程 $ 2x^2 + x + c = 0 $ 的解集为 $ P $,方程 $ 2x^2 + bx + 2 = 0 $ 的解集为 $ Q $,$ P \cap Q = \{ - 1 \} $,则 $ P \cup Q = $$\{-1,\frac{1}{2}\}$.

答案： 5. $\{-1,\frac{1}{2}\}$ 【解析】因为$-1$是方程$2x^2 + x + c = 0$与$2x^2 + bx + 2 = 0$的实根，所以$2×(-1)^2 + (-1) + c = 0$，$2×(-1)^2 + b×(-1) + 2 = 0$，得$c = - 1$，$b = 4$．解方程$2x^2 + x - 1 = 0$，得$x_1 = - 1$或$x_2 = \frac{1}{2}$，所以$P = \{-1,\frac{1}{2}\}$．解方程$2x^2 + 4x + 2 = 0$，得$x_3 = x_4 = - 1$，所以$Q = \{-1\}$，所以$P\cup Q = \{-1,\frac{1}{2}\}$

1. 已知集合 $ A = \{ - 4,2a - 1,a^2 \} $,$ B = \{ a - 5,1 - a,9 \} $,若 $ A \cap B = \{ 9 \} $,求 $ a $ 的值.

答案： 1. 解：若$A\cap B = \{9\}$，则$9\in A$，所以$2a - 1 = 9$或$a^2 = 9$，得$a = 5$或$a = \pm3$，当$a = 5$时，$A = \{-4,9,25\}$，$B = \{0,-4,9\}$，此时$A\cap B = \{-4,9\}\neq\{9\}$，故$a = 5$舍去；当$a = 3$时，$B = \{-2,-2,9\}$，不符合要求，故$a = 3$舍去；经检验可知，$a = - 3$符合题意．

2. 已知集合 $ A = \{ 1,x,x^2 - x \} $,$ B = \{ 1,2,x \} $,若集合 $ A $ 与集合 $ B $ 相等,求 $ x $ 的值.

答案： 2. 解：因为集合$A$与集合$B$相等，所以$x^2 - x = 2$，解得$x = 2$或$x = - 1$，当$x = 2$时，与集合元素的互异性矛盾，舍去，当$x = - 1$时，符合题意，所以$x = - 1$．