《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的______叫作三角形的角平分线。

答案： 1. 线段

2. 三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边______的线段,叫作三角形的中线。

答案： 2. 中点

3. 三角形的高线：从三角形的一个______向它的对边所在的直线作______,______与______之间的______叫作三角形的高线。

答案： 3. 顶点 垂线 顶点 垂足 线段

典例1 如图,AD是△ABC的角平分线,DM//AC交AB于点M,DN//AB交AC于点N,试说明：DA平分∠MDN。

点拨 要证明两角相等,可利用平行线的“等角转化”功能进行等量代换。
解答：
解有所悟：直接说明两个量相等有困难时,常常通过等量代换进行间接说明。

答案： 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD. 因为DM//AC，DN//AB，所以∠ADM=∠DAN，∠ADN=∠DAM. 所以∠ADM=∠ADN. 所以DA平分∠MDN.

典例2 如图,在△ABC中(AC＞AB),AC= 2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40这两部分,求AC和AB的长。

点拨 设法列出与边长有关的二元一次方程组,要注意AD把三角形的周长分成的两部分,每一部分均不包含分割线AD的长。
解答：
解有所悟：题意中有明显的等量关系时,可考虑列方程(组)求解。

答案： 设BD=CD=x，AB=y，则BC=BD+CD=2x. 所以AC=2BC=4x. 因为边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40这两部分，AC＞AB，所以AC+CD=60，AB+BD=40，即$\begin{cases}4x + x = 60, \\x + y = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 12, \\y = 28.\end{cases}$所以AB=28，AC=4×12=48，BC=2×12=24. 当AB=28，BC=24，AC=48时，符合三角形的三边关系，能组成三角形. 所以AC=48，AB=28.