《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

6. $2×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1$的计算结果是 ()

A.$3^{32}+1$
B.$3^{32}-1$
C.$3^{31}$
D.$3^{32}$

答案： D 解析：原式 $ =(3 - 1)×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1=(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1=(3^{32}-1)+1 = 3^{32} $。

7. 计算:
(1) $103×97×10009$.
(2) $\frac{2023^{2}+4}{2025^{2}+2021^{2}}$.
(3) $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×... ×(1-\frac{1}{19^{2}})$.
(4) $\frac{1^{2}}{1^{2}-20+200}+\frac{2^{2}}{2^{2}-40+200}+... +\frac{19^{2}}{19^{2}-380+200}$.

答案：
(1) 原式 $ =(100 + 3)×(100 - 3)×10009=(10000 - 9)×(10000 + 9)=10000^{2}-9^{2}=99999919 $。
(2) 原式 $ =\frac{2023^{2}+4}{(2023 + 2)^{2}+(2023 - 2)^{2}}=\frac{2023^{2}+4}{2×(2023^{2}+4)}=\frac{1}{2} $。
(3) 原式 $ =(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{19})×(1+\frac{1}{19})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×\frac{18}{19}×\frac{20}{19}=\frac{1}{2}×\frac{20}{19}=\frac{10}{19} $。
(4) 原式 $ =(\frac{1^{2}}{1^{2}-20 + 200}+\frac{19^{2}}{19^{2}-380 + 200})+(\frac{2^{2}}{2^{2}-40 + 200}+\frac{18^{2}}{18^{2}-360 + 200})+…+(\frac{9^{2}}{9^{2}-180 + 200}+\frac{11^{2}}{11^{2}-220 + 200})+\frac{10^{2}}{10^{2}-200 + 200}=[\frac{1^{2}}{(1 - 10)^{2}+100}+\frac{19^{2}}{(19 - 10)^{2}+100}]+[\frac{2^{2}}{(2 - 10)^{2}+100}+\frac{18^{2}}{(18 - 10)^{2}+100}]+…+[\frac{9^{2}}{(9 - 10)^{2}+100}+\frac{11^{2}}{(11 - 10)^{2}+100}]+1=\frac{1^{2}+19^{2}}{9^{2}+100}+\frac{2^{2}+18^{2}}{8^{2}+100}+…+\frac{9^{2}+11^{2}}{1^{2}+100}+1=\frac{(10 - 9)^{2}+(10 + 9)^{2}}{9^{2}+10^{2}}+\frac{(10 - 8)^{2}+(10 + 8)^{2}}{8^{2}+10^{2}}+…+\frac{(10 - 1)^{2}+(10 + 1)^{2}}{1^{2}+10^{2}}+1=\frac{2×(9^{2}+10^{2})}{9^{2}+10^{2}}+\frac{2×(8^{2}+10^{2})}{8^{2}+10^{2}}+…+\frac{2×(1^{2}+10^{2})}{1^{2}+10^{2}}+1=2×9 + 1 = 19 $。

8. 从边长为$a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b$的小正方形后,将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图①),然后拼成一个平行四边形(如图②),那么通过计算两个图形涂色部分的面积,可以验证成立的等式为 ()


A.$a^{2}-b^{2}= (a-b)^{2}$
B.$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$
C.$(a-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}$
D.$a^{2}-b^{2}= (a+b)(a-b)$

答案： D