《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

21.(9分)新考向 数学文化 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,“杨辉三角”就是其中一例。如图,这个三角形的构造法则如下：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左、右两数之和,它给出了$(a+b)^{n}$(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律。例如：在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应$(a+b)^{2}$的展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应$(a+b)^{3}$的展开式中的系数……

(1)根据上面的规律,写出$(a+b)^{5}$的展开式。
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1$。

答案：

(1) 如图, 则 $ ( a + b ) ^ { 5 } = a ^ { 5 } + 5 a ^ { 4 } b + 10 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 10 a ^ { 2 } b ^ { 3 } + 5 a b ^ { 4 } + b ^ { 5 } $.
(2) $ 2 ^ { 5 } - 5 × 2 ^ { 4 } + 10 × 2 ^ { 3 } - 10 × 2 ^ { 2 } + 5 × 2 - 1 = 2 ^ { 5 } + 5 × 2 ^ { 4 } × ( - 1 ) + 10 × 2 ^ { 3 } × ( - 1 ) ^ { 2 } + 10 × 2 ^ { 2 } × ( - 1 ) ^ { 3 } + 5 × 2 × ( - 1 ) ^ { 4 } + ( - 1 ) ^ { 5 } = ( 2 - 1 ) ^ { 5 } = 1 $.

22.(10分)在数学活动课上,老师用如图①所示的三种大小不同的正方形与长方形,拼成了一个如图②所示的正方形。
(1)请用两种不同的方法表示图②中涂色部分的面积和。
方法1：____；方法2：____。
(2)请直接写出$(a+b)^{2},a^{2}+b^{2},ab$之间的等量关系。
(3)根据(2)中的等量关系,解决下列问题：
① 已知$m+n= 5,m^{2}+n^{2}= 20$,求mn和$(m-n)^{2}$的值。
② 已知$(x-2023)^{2}+(x-2025)^{2}= 34$,求$(x-2024)^{2}$的值。

答案：
(1) $ ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b $; $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $.
(2) $ ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $.
(3) ① 因为 $ ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $, 所以 $ a b = \frac { ( a + b ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } { 2 } $. 因为 $ m + n = 5 $, $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 20 $, 所以 $ m n = \frac { ( m + n ) ^ { 2 } - ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) } { 2 } = \frac { 5 ^ { 2 } - 20 } { 2 } = \frac { 5 } { 2 } $. 所以 $ ( m - n ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } - 2 m n + n ^ { 2 } = 20 - 2 × \frac { 5 } { 2 } = 20 - 5 = 15 $. ② 设 $ a = x - 2023 $, $ b = x - 2025 $, 则 $ a + b = 2 ( x - 2024 ) $. 所以 $ x - 2024 = \frac { a + b } { 2 } $. 所以 $ ( x - 2024 ) ^ { 2 } = \left( \frac { a + b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } } { 4 } $. 因为 $ ( a - b ) ^ { 2 } = [ ( x - 2023 ) - ( x - 2025 ) ] ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } = 4 $, $ ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $, 所以 $ 2 a b = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - ( a - b ) ^ { 2 } = ( x - 2023 ) ^ { 2 } + ( x - 2025 ) ^ { 2 } - 4 = 34 - 4 = 30 $. 所以 $ ( x - 2024 ) ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } } { 4 } = \frac { 34 + 30 } { 4 } = 16 $.