《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

22. (10 分)完全平方公式是同学们比较熟悉的公式.
(1)若$a + b = 6$,$ab = 6$,则$a^{2} + b^{2}$的值为______.
(2)如图①,在正方形$ABCD$中,点$E在边AB$上,$AE = a$,$EB = b$. 以$AE$,$EB为边在AB上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN$,连结$AN$. 若$S_{三角形AEN} = 4$,则涂色部分的面积为______.
(3)如图②,在长方形地面上铺地砖,共用了三种地砖,一种是灰色小长方形地砖,另外两种是白色大正方形地砖和白色小正方形地砖. 已知长方形地面的周长为 8.4 米,每块灰色小长方形地砖的面积为 0.36 平方米. 设每块灰色小长方形地砖的长为$m$米,宽为$n$米. 求：
①$m + n$的值.
②所用的白色地砖的总面积.

答案：
(1) 24.
(2) 16.
(3) ① 根据题意,得长方形地面的长为 $(2m + n)$ 米,宽为 $(m + 2n)$ 米. 因为长方形地面的周长为 8.4 米,所以 $2(2m + n + m + 2n)=8.4$. 所以 $m + n = 1.4$. ② $S_{白色地砖}=S_{长方形地面}-5S_{灰色小长方形地砖}=(2m + n)·(m + 2n)-5mn=[2(m^{2}+n^{2})]$(平方米). 因为每块灰色小长方形地砖的面积为 0.36 平方米,所以 $mn = 0.36$. 因为 $m + n = 1.4$,所以 $(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=m^{2}+0.72 + n^{2}=1.96$. 所以 $m^{2}+n^{2}=1.24$. 所以所用的白色地砖的总面积为 $2×1.24 = 2.48$(平方米).

23. (10 分)某超市购进$A$,$B$两种类型的大米进行销售,这两种类型的大米的进价、售价如下表：
|类型|进价/(元/袋)|售价/(元/袋)|
|$A$型大米|20|30|
|$B$型大米|30|45|
(1)该超市 6 月购进$A$,$B$两种类型的大米共 90 袋,进货款恰好为 2200 元.
①求这两种类型的大米各购进多少袋.
②据 6 月的销售统计,这两种类型的大米的销售总额为 1200 元,求该超市 6 月已售出大米的进货款.
(2)为增加销量,该超市决定在进货款仍为 2200 元的情况下,7 月增加购进$C$型大米作为赠品,进价为每袋 10 元,并出台了“买 3 袋$A$型大米送 1 袋$C$型大米,买 3 袋$B$型大米送 2 袋$C$型大米”的促销方案. 若 7 月该超市购进大米的数量恰好满足上述促销搭配方案,则 7 月购进 3 种类型的大米各多少袋？

答案：
(1) ① 设 A 型大米购进 x 袋,B 型大米购进 y 袋. 由题意,得 $\begin{cases}x + y = 90, \\ 20x + 30y = 2200,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 50, \\ y = 40.\end{cases}$ 所以 A 型大米购进 50 袋,B 型大米购进 40 袋. ② 设 6 月已售出 A 型大米 m 袋,B 型大米 n 袋. 由题意,得 $30m + 45n = 1200$. 化简,得 $2m + 3n = 80$. 所以 $20m + 30n = 10(2m + 3n)=10×80 = 800$. 所以该超市 6 月已售出大米的进货款为 800 元.
(2) 设 7 月该超市购进 A 型大米 a 袋,B 型大米 b 袋,则购进 C 型大米 $(\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b)$ 袋. 由题意,得 $20a + 30b + 10(\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b)=2200$. 化简,得 $7a + 11b = 660$. 所以 $b = 60-\frac{7}{11}a$. 又因为 $a,b,\frac{1}{3}a,\frac{2}{3}b$ 均为正整数,所以 a 既是 3 的倍数,又是 11 的倍数,b 是 3 的倍数. 所以 $\begin{cases}a = 33, \\ b = 39\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 66, \\ b = 18.\end{cases}$ 当 $a = 33,b = 39$ 时, $\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b = 37$;当 $a = 66,b = 18$ 时, $\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b = 34$. 所以购进 A 型大米 33 袋,B 型大米 39 袋,C 型大米 37 袋或购进 A 型大米 66 袋,B 型大米 18 袋,C 型大米 34 袋.