《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

20. (10分)列方程解应用题：
某商场用4000元购进某种服装销售,由于销售状况良好,超市又调拨9000元资金购进该种服装,但这次的进价比第一次的进价降低了10%,购进的数量比第一次的2倍还多25件.
(1)这种服装第一次的进价是每件多少元？
(2)若该种服装均以每件100元的售价销售,则全部售完这种服装时,该商场可以盈利多少元？

答案：
(1) 设这种服装第一次的进价是每件 $ x $ 元，则第二次的进价是每件 $ (1 - 10\%)x $ 元。根据题意，得 $ \frac{9000}{(1 - 10\%)x} = \frac{4000}{x} × 2 + 25 $，解得 $ x = 80 $。经检验，$ x = 80 $ 是原分式方程的解，且符合题意。所以这种服装第一次的进价是每件 80 元。
(2) 这种服装第一次购进的数量为 $ 4000 ÷ 80 = 50 $（件），则第二次购进的数量为 $ 50 × 2 + 25 = 125 $（件），所以共盈利 $ (50 + 125) × 100 - 4000 - 9000 = 4500 $（元）。所以全部售完这种服装时，该商场可以盈利 4500 元。

21. (12分)新考法 新定义题 若A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“雅中式”,这个常数称为A关于B的“雅中值”.如$A= \frac {2x}{x+1},B= \frac {-2}{x+1},A-B= \frac {2x}{x+1}-(\frac {-2}{x+1})= \frac {2x+2}{x+1}= \frac {2(x+1)}{x+1}= 2$,则A是B的“雅中式”,A关于B的“雅中值”为2.
(1)已知$C= \frac {2+2x}{x-2},D= \frac {3x}{x-2}$,判断C是否为D的“雅中式”.若不是,请说明理由,若是,请证明并求出C关于D的“雅中值”.
(2)已知$P= \frac {E}{9-x^{2}},Q= \frac {x}{3-x}$,P是Q的“雅中式”,且P关于Q的“雅中值”是1,x为整数,且P的值也为整数,求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值.
(3)已知$M= \frac {(x-b)(x-1)}{x},N= \frac {x(x-a)}{x}$(a,b为整数),M是N的“雅中式”,且M关于N的“雅中值”是1,求$a^{b}$的值.

答案：
(1) $ C $ 不是 $ D $ 的“雅中式”。理由：因为 $ C = \frac{2 + 2x}{x - 2} $，$ D = \frac{3x}{x - 2} $，所以 $ C - D = \frac{2 + 2x}{x - 2} - \frac{3x}{x - 2} = \frac{2 + 2x - 3x}{x - 2} = \frac{2 - x}{x - 2} = -1 $。因为 $ -1 ＜ 0 $，所以 $ C $ 不是 $ D $ 的“雅中式”。
(2) 因为 $ P $ 是 $ Q $ 的“雅中式”，且 $ P $ 关于 $ Q $ 的“雅中值”是 1，所以 $ P - Q = 1 $。因为 $ P = \frac{E}{9 - x^2} $，$ Q = \frac{x}{3 - x} $，所以 $ \frac{E}{9 - x^2} - \frac{x}{3 - x} = 1 $。所以 $ \frac{E - x(3 + x)}{9 - x^2} = 1 $。所以 $ E - 3x - x^2 = 9 - x^2 $。所以 $ E = 9 - x^2 + 3x + x^2 = 3x + 9 $。所以 $ P = \frac{3x + 9}{9 - x^2} = \frac{3}{3 - x} $。因为 $ x $ 为整数，且 $ P $ 的值也为整数，所以 $ 3 - x $ 为 $ ±1 $ 或 $ ±3 $。所以 $ x $ 的值为 0 或 2 或 4 或 6。
(3) 因为 $ M $ 是 $ N $ 的“雅中式”，且 $ M $ 关于 $ N $ 的“雅中值”是 1，所以 $ M - N = 1 $。因为 $ M = \frac{(x - b)(x - 1)}{x} $，$ N = \frac{x(x - a)}{x} $（$ a $，$ b $ 为整数），所以 $ \frac{(x - b)(x - 1)}{x} - \frac{x(x - a)}{x} = 1 $。所以 $ \frac{x^2 - bx - x + b - (x^2 - ax)}{x} = 1 $。所以 $ \frac{ax - bx - x + b}{x} = 1 $。所以 $ \frac{(a - b - 1)x + b}{x} = 1 $。所以 $ a - b - 1 = 1 $，$ b = 0 $。所以 $ a = 2 $，$ b = 0 $。所以 $ a^b = 2^0 = 1 $。