《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

4. 观察探究性学习小组的甲、乙两名同学因式分解的过程：
甲：$ x^{2}-x y+4 x-4 y $
$ =\left(x^{2}-x y\right)+(4 x-4 y) $
$ =x(x-y)+4(x-y) $
$ =(x-y)(x+4) $.
乙：$ a^{2}-b^{2}-c^{2}+2 b c $
$ =a^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-2 b c\right) $
$ =a^{2}-(b-c)^{2} $
$ =(a+b-c)(a-b+c) $.
(1)请你在他们解法的启发下,把下列各式分解因式：
① $ m^{3}-2 m^{2}-4 m+8 $.
② $ x^{2}-2 x y+y^{2}-9 $.
③ $ x^{2}-2 a x-b^{2}+2 a b $.
(2)拓展应用：
① 若 $ a $,$ b(a＞b) $ 都是正整数且满足 $ a b-a-b-4= 0 $,求 $ a+b $ 的值.
② 若 $ a $,$ b $ 为实数且满足 $ a b-a-b-4= 0 $,$ s= a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b $,求 $ s $ 的最小值.

答案：
(1)①原式$=m^{2}(m-2)-4(m-2)=(m^{2}-4)(m-2)=(m-2)^{2}(m+2)$.②原式$=(x-y)^{2}-9=(x-y+3)(x-y-3)$.③原式$=(x^{2}-b^{2})-2ax+2ab=(x+b)(x-b)-2a(x-b)=(x-b)(x+b-2a)$.
(2)①由题意,得$ab-a-b+1=5$,即$(a-1)(b-1)=5$.因为$a,b$都是正整数且$a＞b$,所以$\left\{\begin{array}{l} a-1=5,\\ b-1=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=6,\\ b=2.\end{array}\right. $所以$a+b=8$.②由题意,得$ab=a+b+4$.所以$s=a^{2}+3ab+b^{2}+3a-\frac {5}{2}b=a^{2}+3(a+b+4)+b^{2}+3a-\frac {5}{2}b=a^{2}+6a+b^{2}+\frac {1}{2}b+12=(a+3)^{2}+(b+\frac {1}{4})^{2}+\frac {47}{16}$.因为$(a+3)^{2}≥0,(b+\frac {1}{4})^{2}≥0$,所以$s≥\frac {47}{16}$(当且仅当$a=-3,b=-\frac {1}{4}$时,等号成立).经检验,$a=-3,b=-\frac {1}{4}$满足$ab-a-b-4=0$.所以$s$的最小值为$\frac {47}{16}$.

5. 阅读材料：
二次三项式 $ a^{2}+2 a b+b^{2} $ 可以用公式直接分解为 $ (a+b)^{2} $,但对于二次三项式 $ a^{2}+2 a b-8 b^{2} $,就不能直接用公式了,我们可以将 $ -8 b^{2} $ 拆成 $ b^{2} $ 和 $ -9 b^{2} $,构造完全平方式. 于是有
$ a^{2}+2 a b-8 b^{2} $
$ =a^{2}+2 a b+b^{2}-9 b^{2} $
$ =(a+b)^{2}-(3 b)^{2} $
$ =[(a+b)+3 b][(a+b)-3 b] $
$ =(a+4 b)(a-2 b) $.
像这样将二次三项式分解因式的方法叫作拆项分解法.
请你根据材料中提供的因式分解的方法,将下列多项式分解因式：
(1)$ m^{2}+6 m+8 $.
(2)$ a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4} $.

答案：
(1)原式$=m^{2}+6m+9-1=(m+3)^{2}-1^{2}=(m+3+1)(m+3-1)=(m+4)(m+2)$.
(2)原式$=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-(ab)^{2}=(a^{2}+b^{2}+ab)(a^{2}+b^{2}-ab)$.