《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

21. (10分)如图,射线$OA//射线CB$,$∠C = ∠OAB = 100^{\circ}$,点$D$,$E在线段CB$上,且$∠DOB = ∠BOA$,$OE平分∠COD$。
(1)试说明：$AB// OC$。
(2)求$∠BOE$的度数。
(3)平移线段$AB$。
① 试问：$∠OBC:∠DOB$的值是否会发生变化？若不会,请求出这个比值；若会,请找出变化规律。
② 在平移过程中存在某种情况使得$∠OEC = ∠OBA$,求此时$∠OEC$的度数。

答案： （1）因为 $ OA // CB $，所以 $ \angle OAB + \angle ABC = 180^{\circ} $. 因为 $ \angle C = \angle OAB $，所以 $ \angle C + \angle ABC = 180^{\circ} $. 所以 $ AB // OC $. （2）因为 $ CB // OA $，所以 $ \angle AOC = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} $. 因为 $ OE $ 平分 $ \angle COD $，所以 $ \angle COE = \angle EOD $. 因为 $ \angle DOB = \angle BOA $，所以易得 $ \angle BOE = \angle EOD + \angle DOB = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} × 80^{\circ} = 40^{\circ} $. （3）① $ \angle OBC : \angle DOB $ 的值不会发生变化. 因为 $ CB // OA $，所以 $ \angle AOB = \angle OBC $. 因为 $ \angle DOB = \angle AOB $，所以 $ \angle DOB = \angle OBC $. 所以 $ \angle OBC : \angle DOB = 1 $. ② 在 $ \triangle COE $ 和 $ \triangle AOB $ 中，因为 $ \angle OEC = \angle OBA $，$ \angle C = \angle OAB $，所以 $ \angle COE = \angle BOA $. 因为 $ \angle COE = \angle DOE $，$ \angle DOB = \angle BOA $，所以易得 $ \angle COE = \frac{1}{4} \angle AOC = \frac{1}{4} × 80^{\circ} = 20^{\circ} $. 所以 $ \angle OEC = 180^{\circ} - \angle C - \angle COE = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ} $.

22. (10分)新考法 探究题 在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线$AB$,$CD和一把含60^{\circ}角的三角尺EFG$($∠EFG = 90^{\circ}$,$∠EGF = 60^{\circ}$)”为主题开展数学活动。
(1)如图①,娟娟把三角尺$EFG的顶点G放在CD$上,若$∠2 = 2∠1$,求$∠1$的度数。
(2)如图②,晓晓把三角尺$EFG的两个锐角的顶点E$,$G分别放在AB和CD$上。请说明$∠AEF与∠FGC$之间的数量关系。
(3)如图③,亮亮把三角尺$EFG的直角顶点F放在CD$上,顶点$E放在AB$上。若$∠AEG = \alpha$,$∠CFG = \beta$,请直接写出$\alpha与\beta$之间的数量关系。

答案： （1）因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle 1 = \angle EGD $. 因为 $ \angle 2 + \angle EGF + \angle EGD = 180^{\circ} $，$ \angle 2 = 2 \angle 1 $，所以 $ 2 \angle 1 + 60^{\circ} + \angle 1 = 180^{\circ} $. 所以 $ \angle 1 = 40^{\circ} $. （2）如图，过点 $ F $ 作 $ FP // AB $. 因为 $ CD // AB $，所以 $ FP // AB // CD $. 所以 $ \angle AEF = \angle EFP $，$ \angle FGC = \angle GFP $. 所以 $ \angle AEF + \angle FGC = \angle EFP + \angle GFP = \angle EFG = 90^{\circ} $. 所以 $ \angle AEF + \angle FGC = 90^{\circ} $. （3）$ \alpha + \beta = 300^{\circ} $.