《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. 已知$x^{2}+y^{2}= 9,x+y= 4$,求下列代数式的值:
(1) $xy$.
(2) $(x-3)(y-3)$.

答案：
(1) 因为 $ x^{2}+y^{2}=9 $，$ x+y=4 $，所以 $ xy=\frac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2}=\frac{4^{2}-9}{2}=\frac{7}{2} $。
(2) $ (x - 3)(y - 3)=xy - 3x - 3y + 9=xy - 3(x + y)+9=\frac{7}{2}-3×4 + 9=\frac{1}{2} $。

2. 已知$x= a-2024,y= 2020-a,xy= 2$. 求:
(1) $x^{2}+y^{2}$的值.
(2) $(x-y)^{2}$的值.

答案：
(1) 因为 $ x = a - 2024 $，$ y = 2020 - a $，$ xy = 2 $，所以 $ x + y = a - 2024 + 2020 - a = - 4 $。所以 $ x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy=(-4)^{2}-2×2 = 12 $。
(2) 由
(1)知，$ x^{2}+y^{2}=12 $，所以 $ (x - y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=12 - 2×2 = 8 $。

3. 若$x^{2}+2(a+4)x+25$是完全平方式,则$a$的值为 ()

A.1
B.-9
C.1 或 -9
D.5

答案： C 解析：因为 $ x^{2}+2(a + 4)x + 25 $ 是完全平方式，所以 $ a + 4 = ±5 $，解得 $ a = - 9 $ 或 $ a = 1 $。

4. 若$x^{2}+2xy+y^{2}-a(x+y)+25$为完全平方式,求$a$的值.

答案： 原式 $ =(x + y)^{2}-a(x + y)+5^{2} $。因为原式为完全平方式，所以 $ -a(x + y)=±2×5(x + y) $。所以 $ -a = ±10 $。所以 $ a = ±10 $。

5. 王老师在讲完乘法公式$(a\pm b)^{2}= a^{2}\pm 2ab+b^{2}$的多种应用后,要求同学们运用所学知识求代数式$x^{2}+4x+5$的最小值. 同学们经过交流讨论,最后总结出如下解答方法:
$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1$.
因为$(x+2)^{2}≥0$,所以当$x= -2$时,$(x+2)^{2}$的值最小,最小值是 0. 所以$(x+2)^{2}+1≥1$. 所以当$(x+2)^{2}= 0$时,$(x+2)^{2}+1$的值最小,最小值是 1. 所以$x^{2}+4x+5$的最小值是 1.
依据上述方法,解决下列问题:
(1) 当$x= $____时,$x^{2}+6x-15$有最小值,最小值是____.
(2) 多项式$-x^{2}+2x+18$有最____(填“大”或“小”)值,该值为____.
(3) 已知$-x^{2}+5x+y+20= 0$,求$y+x$的最值.

答案：
(1) $ - 3 $；$ - 24 $。
(2) 大；19。
(3) 因为 $ -x^{2}+5x + y + 20 = 0 $，所以 $ y = x^{2}-5x - 20 $。所以 $ y + x = x^{2}-5x - 20 + x = x^{2}-4x - 20=(x - 2)^{2}-24 $。因为 $ (x - 2)^{2}≥0 $，所以当 $ x = 2 $ 时，$ (x - 2)^{2} $ 的值最小，最小值是 0。所以 $ (x - 2)^{2}-24≥-24 $。所以当 $ (x - 2)^{2}=0 $ 时，$ (x - 2)^{2}-24 $ 的值最小，最小值是 $ - 24 $。所以 $ y + x $ 的最小值是 $ - 24 $。