《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

18. (8分)如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,射线$OD平分∠BOF$,$OE\perp CD于点O$,$∠AOC = 38^{\circ}$。
(1)求$∠EOF$的度数。
(2)试判断射线$OE是否平分∠AOF$,并说明理由。

答案： （1）因为 $ OD $ 平分 $ \angle BOF $，所以 $ \angle BOD = \angle DOF $. 因为 $ \angle BOD = \angle AOC = 38^{\circ} $，所以 $ \angle DOF = 38^{\circ} $. 因为 $ OE \perp CD $，所以 $ \angle EOD = 90^{\circ} $. 所以 $ \angle EOF = 90^{\circ} - \angle DOF = 52^{\circ} $. （2）射线 $ OE $ 平分 $ \angle AOF $. 理由：因为 $ \angle AOB = 180^{\circ} $，$ \angle EOD = 90^{\circ} $，所以 $ \angle AOE + \angle BOD = 90^{\circ} $. 因为 $ \angle BOD = 38^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = 90^{\circ} - \angle BOD = 52^{\circ} $. 因为 $ \angle EOF = 52^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = \angle EOF $. 所以射线 $ OE $ 平分 $ \angle AOF $.

19. (8分)新情境 日常生活 一款小刀刀柄的外形是一个直角梯形挖去一个半圆,刀片上、下边是平行的。如图,转动刀片时会形成$∠1$,$∠2$。
(1)若$∠1 = 55^{\circ}$,求$∠2$的度数。
(2)当$∠2$为钝角时,试说明：$∠2 = 90^{\circ} + ∠1$。

答案： （1）如图，延长 $ CB $ 交 $ AD $ 于点 $ E $. 根据题意，得 $ AB \perp CE $，所以 $ \angle ABE = 90^{\circ} $. 因为 $ \angle 1 = 55^{\circ} $，所以易得 $ \angle DEB = \angle 1 + \angle ABE = 55^{\circ} + 90^{\circ} = 145^{\circ} $. 因为刀片上、下边是平行的，即 $ AD // CF $，所以 $ \angle 2 = \angle DEB = 145^{\circ} $. （2）由（1），可知 $ \angle DEB = \angle 1 + \angle ABE = \angle 1 + 90^{\circ} $，$ \angle 2 = \angle DEB $，所以 $ \angle 2 = 90^{\circ} + \angle 1 $.

20. (8分)如图,点$B$,$C在线段AD$的异侧,点$E$,$F分别是线段AB$,$CD$上的点,已知$∠1 = ∠2$,$∠3 = ∠C$。
(1)试说明：$AB// CD$。
(2)若$∠2 + ∠4 = 180^{\circ}$,试说明：$∠BFC + ∠C = 180^{\circ}$。
(3)在(2)的条件下,若$∠BFC - 30^{\circ} = 2∠1$,求$∠B$的度数。

答案： （1）因为 $ \angle 1 = \angle 2 $，$ \angle 3 = \angle C $，$ \angle 2 = \angle 3 $，所以 $ \angle 1 = \angle C $. 所以 $ AB // CD $. （2）因为 $ \angle 2 + \angle 4 = 180^{\circ} $，$ \angle 2 = \angle 3 $，所以 $ \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} $. 所以 $ BF // EC $. 所以 $ \angle BFC + \angle C = 180^{\circ} $. （3）因为 $ \angle BFC - 30^{\circ} = 2 \angle 1 = 2 \angle C $，所以 $ \angle BFC = 2 \angle C + 30^{\circ} $. 因为 $ \angle BFC + \angle C = 180^{\circ} $，所以 $ 2 \angle C + 30^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} $. 所以 $ \angle C = 50^{\circ} $. 所以 $ \angle BFC = 130^{\circ} $. 因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle B + \angle BFC = 180^{\circ} $. 所以 $ \angle B = 50^{\circ} $.