《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

20. (10分)阅读材料：
把形如$ax^{2}+bx+c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法,配方法的基本形式为完全平方公式的逆写,即$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$.例如：$x^{2}-2x+4的三种不同形式的配方为(x-1)^{2}+3,(x-2)^{2}+2x或(x+2)^{2}-6x,(\frac {1}{2}x-2)^{2}+\frac {3}{4}x^{2}$(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
根据材料中的内容,解答下列问题.
(1)根据材料中的例子,写出$x^{2}-4x+2$的不同形式的配方.
(2)利用配方法求代数式$x^{2}+4y^{2}+4x+12y+29$的最小值.

答案：
(1)$x^{2} - 4x + 2$的不同形式的配方为$(x - 2)^{2} - 2$，$(x + \sqrt{2})^{2} - (2\sqrt{2} + 4)x$或$(x - \sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2} - 4)x$，$(\sqrt{2}x - \sqrt{2})^{2} - x^{2}$。
(2)因为$x^{2} + 4y^{2} + 4x + 12y + 29 = (x + 2)^{2} + 4(y + \frac{3}{2})^{2} + 16$，且$(x + 2)^{2} \geq 0$，$4(y + \frac{3}{2})^{2} \geq 0$，所以代数式$x^{2} + 4y^{2} + 4x + 12y + 29$的最小值为16。

21. (15分)阅读材料,回答问题.
如图①,有足够多的边长为$a$的小正方形纸片($A$类),长为$b$、宽为$a$的长方形纸片($B$类)及边长为$b$的大正方形纸片($C$类),发现利用这三类纸片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式,图②可以解释$(a+2b)(a+b)= a^{2}+3ab+2b^{2}$.
(1)取图①中的若干张纸片($A,B,C$三类纸片都要取到)拼成一个长方形,使其面积为$(2a+b)(a+2b)$,画出图形.根据图形可知,$(2a+b)(a+2b)= $.
(2)取图①中的若干张纸片($A,B,C$三类纸片都要取到)拼成一个长方形,使其面积为$a^{2}+5ab+6b^{2}$,画出图形.
① 拼成这个长方形需要$A$类、$B$类、$C$类纸片共张.
② 根据图形可知,多项式$a^{2}+5ab+6b^{2}$分解因式为.

答案：

(1)画出图形不唯一，如图①所示。$2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$。
(2)画出图形不唯一，如图②所示。①12。②$(a + 2b)(a + 3b)$。