《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

11. 要将240吨新鲜蔬菜由A地运往B地.现有甲、乙、丙三种车供选择,每辆车的运载能力和运费如下表(假设每辆车均满载且只运输一次):
|车型|甲|乙|丙|
|运载量/(吨/辆)|10|16|20|
|运费/(元/辆)|800|1000|1200|
(1)同时用甲、乙、丙三种车运送全部蔬菜,甲种车8辆,乙种车5辆,则丙种车需要多少辆?
(2)若全部蔬菜用甲、乙两种车运送完,需运费16 400元,则分别需甲、乙两种车各几辆?
(3)若全部蔬菜用甲、乙、丙三种车同时参与并运送完,已知它们的总辆数为16,请你列出全部运输方案,并说明哪种运输方案总费用最少,最少总费用为多少元?

答案：
(1) $ (240 - 10×8 - 16×5) ÷ 20 = 4 $（辆），所以丙种车需要 $ 4 $ 辆。
(2) 设需要 $ x $ 辆甲种车，$ y $ 辆乙种车，则 $ \begin{cases} 10x + 16y = 240, \\ 800x + 1000y = 16400, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 10. \end{cases} $ 所以需要 $ 8 $ 辆甲种车，$ 10 $ 辆乙种车。
(3) 设需要 $ m $ 辆甲种车，$ n $ 辆乙种车，则需要 $ (16 - m - n) $ 辆丙种车，则 $ 10m + 16n + 20(16 - m - n) = 240 $，所以 $ m = 8 - \frac{2}{5}n $。因为 $ m $，$ n $，$ 16 - m - n $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = 5, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 4, \\ n = 10. \end{cases} $ ① 当 $ m = 6 $，$ n = 5 $ 时，$ 16 - m - n = 5 $，运费为 $ 800×6 + 1000×5 + 1200×5 = 15800 $（元）；② 当 $ m = 4 $，$ n = 10 $ 时，$ 16 - m - n = 2 $，运费为 $ 800×4 + 1000×10 + 1200×2 = 15600 $（元）。因为 $ 15800 ＞ 15600 $，所以有两种运输方案：$ 6 $ 辆甲种车、$ 5 $ 辆乙种车、$ 5 $ 辆丙种车或 $ 4 $ 辆甲种车、$ 10 $ 辆乙种车、$ 2 $ 辆丙种车，其中 $ 4 $ 辆甲种车、$ 10 $ 辆乙种车、$ 2 $ 辆丙种车的运输方案总费用最少，为 $ 15600 $ 元。

12. 为了奖励优秀学生,李老师用W元购买奖品.若3支钢笔和4本笔记本为一份奖品,则可购买60份奖品;若4支钢笔和7本笔记本为一份奖品,则可购买40份奖品.设钢笔的单价为x元,笔记本的单价为y元.
(1)请用含y的代数式表示x.
(2)若W元全部用来购买笔记本,则总共可以买多少本?
(3)若李老师用这笔钱恰好买了75份同样的奖品,每份奖品中有a支钢笔和b本笔记本(钢笔和笔记本都要有),请求出所有可能的a,b的值.

答案：
(1) 由题意，得 $ 60×(3x + 4y) = 40×(4x + 7y) $。所以 $ x = 2y $。
(2) 因为 $ 60×(3x + 4y) ÷ y = 60×(3×2y + 4y) ÷ y = 600 $，所以总共可以买 $ 600 $ 本笔记本。
(3) 由题意，得 $ 75×(ax + by) = 60×(3x + 4y) $。因为 $ x = 2y $，所以 $ b = 8 - 2a $。因为 $ a $，$ b $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = 6 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 3, \\ b = 2. \end{cases} $