《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

15. 已知$a= 2026x+2023,b= 2026x+2024,c= 2026x+2025$,则$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值为.

答案： 15. 3 解析：因为$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac = \frac{1}{2}(2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac) = \frac{1}{2}[(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}]$，且$a = 2026x + 2023$，$b = 2026x + 2024$，$c = 2026x + 2025$，所以原式$ = \frac{1}{2} × [(- 1)^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}] = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
方法点金
用因式分解法求代数式的值
因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式的值的常用解题方法，具体做法是根据题目的特点，先通过因式分解将代数式变形，再进行整体代入。
用因式分解的方法将代数式变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分。例如本题中先将代数式变形，再将其分组，构造出完全平方式的结构形式，最后将每一组分解因式。

16. 新考法 新定义题 若一个整数能表示成两个整数的平方和,则称这个数为“完美数”.例如：$5= 2^{2}+1^{2}$,5就是一个“完美数”.当$k= $时,无论$x,y$取何整数,$M= x^{2}+4xy+5y^{2}-12y+k$始终是一个“完美数”.

答案： 36

17. (9分)分解因式：
(1)$a(x-y)+b(y-x)$.
(2)$2a^{3}-20a^{2}+50a$.
(3)$(a^{2}+4)^{2}-16a^{2}$.

答案：
(1)$(x - y)(a - b)$。
(2)$2a(a - 5)^{2}$。
(3)$(a + 2)^{2}(a - 2)^{2}$。

18. (8分)已知$m^{2}= n+5,n^{2}= m+5$,且$m≠n$,求$m^{2}+2mn+n^{2}$的值.

答案： 因为$m^{2} = n + 5$，$n^{2} = m + 5$，所以$m^{2} - n^{2} = n - m$，即$(m + n)(m - n) = - (m - n)$。因为$m \neq n$，即$m - n \neq 0$，所以$m + n = - 1$。所以$m^{2} + 2mn + n^{2} = (m + n)^{2} = 1$。

19. (10分) 整体思想 先阅读材料,再回答问题：
分解因式：$(a-b)^{2}-2(a-b)+1$.
解：将“$a-b$”看成整体,令$a-b= M$,则原式$=M^{2}-2M+1= (M-1)^{2}$,再将$a-b= M$还原,得到原式$=(a-b-1)^{2}$.
上述解题过程中用到了“整体思想”,它是数学中常用的一种思想方法.请你用整体思想解决下列问题：
(1)分解因式：$9+6(x+y)+(x+y)^{2}= $.
(2)分解因式：$x^{2}-2xy+y^{2}-z^{2}= $.
(3)若$n$为正整数,请说明$(n+1)(n+4)\cdot (n^{2}+5n)+4$的值为某一个正整数的平方.

答案：
(1)$(x + y + 3)^{2}$。
(2)$(x - y + z)(x - y - z)$。
(3)$(n + 1)(n + 4)(n^{2} + 5n) + 4 = (n^{2} + 5n + 4)(n^{2} + 5n) + 4$。设$M = n^{2} + 5n$，则原式$ = (M + 4)M + 4 = M^{2} + 4M + 4 = (M + 2)^{2}$。将$M = n^{2} + 5n$代入，可得原式$ = (n^{2} + 5n + 2)^{2}$。因为$n$为正整数，所以$n^{2} + 5n + 2$也是正整数。所以$(n + 1)(n + 4)(n^{2} + 5n) + 4$的值是某一个正整数的平方。