《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

5. 已知线段$AB = 60$,C为直线AB上一点,$AB = \frac{5}{4}BC$。
(1) 求线段BC的长。
(2) E为线段AC上一点,$AE = \frac{1}{4}AC$,F为线段BC上一点,$CF = 2FB$,求线段EF的长。

答案：

(1) 因为 $ AB = 60 $，$ AB = \frac{5}{4}BC $，所以 $ BC = 48 $。
(2) ① 当点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上时（如图①），因为 $ AB = 60 $，$ BC = 48 $，所以 $ AC = AB - BC = 12 $。因为 $ AE = \frac{1}{4}AC $，所以 $ AE = 3 $。所以 $ CE = AC - AE = 9 $。因为 $ CF = 2FB $，$ BC = BF + CF $，所以 $ BF = 16 $，$ CF = 32 $。因为 $ EF = EC + CF $，所以 $ EF = 41 $。② 当点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的延长线上时（如图②），因为 $ AB = 60 $，$ BC = 48 $，所以 $ AC = AB + BC = 108 $。因为 $ AE = \frac{1}{4}AC $，所以 $ AE = 27 $。所以 $ BE = AB - AE = 33 $。因为 $ CF = 2FB $，$ BC = BF + CF $，所以 $ BF = 16 $，$ CF = 32 $。因为 $ EF = BE + BF $，所以 $ EF = 49 $。综上所述，$ EF $ 的长为 $ 41 $ 或 $ 49 $。

6. 新考法 新定义题 【定义】从角的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角,则称该射线为这个角的“分余线”。
【应用】(1) 如图①,$∠AOB = 70^{\circ}$,$∠AOC = 50^{\circ}$,判断射线OC是否为$∠AOB$的“分余线”,并说明理由。
(2) 如图②,射线OC平分$∠AOB$,且射线OC为$∠AOB$的“分余线”,求$∠AOB$的度数。
(3) 如图③,$∠AOB = 160^{\circ}$,在$∠AOB$的内部作射线OC,OM,ON,使OM为$∠AOC$的平分线,ON为$∠BOC$的平分线。当OC为$∠MON$的“分余线”时,求$∠AOC$的度数。

答案：
(1) 射线 $ OC $ 为 $ \angle AOB $ 的“分余线”。理由：因为 $ \angle AOB = 70^{\circ} $，$ \angle AOC = 50^{\circ} $，所以 $ \angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ} $。因为 $ \angle AOB + \angle BOC = 70^{\circ}+20^{\circ}=90^{\circ} $，所以射线 $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的“分余线”。
(2) 因为射线 $ OC $ 平分 $ \angle AOB $，所以 $ \angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB $。因为射线 $ OC $ 为 $ \angle AOB $ 的“分余线”，所以 $ \angle BOC + \angle AOB = 90^{\circ} $，即 $ \frac{1}{2}\angle AOB + \angle AOB = 90^{\circ} $。所以 $ \angle AOB = 60^{\circ} $。
(3) 因为 $ OC $ 为 $ \angle MON $ 的“分余线”，所以分两种情况讨论：① 当 $ \angle MOC + \angle MON = 90^{\circ} $ 时，因为 $ OM $ 为 $ \angle AOC $ 的平分线，$ ON $ 为 $ \angle BOC $ 的平分线，所以 $ \angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC $，$ \angle NOC = \frac{1}{2}\angle BOC $。所以 $ \angle MON = \angle MOC + \angle NOC = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC)=\frac{1}{2}\angle AOB = 80^{\circ} $。所以 $ \angle MOC = 10^{\circ} $。所以 $ \angle AOC = 20^{\circ} $。② 当 $ \angle NOC + \angle MON = 90^{\circ} $ 时，由 ①，知 $ \angle NOC = 10^{\circ} $，$ \angle BOC = 20^{\circ} $，所以 $ \angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 140^{\circ} $。综上所述，$ \angle AOC $ 的度数为 $ 20^{\circ} $ 或 $ 140^{\circ} $。
方法点金
利用分类讨论思想求角的度数
分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一，在图形问题中，如果图形中的某些元素的位置是不确定的，那么需要根据某一位置关系进行分类讨论。如果图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的，那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论。

7. (1) 如图,点C在线段AB上,$AC = 10$ cm,$BC = 8$ cm,M,N分别为AC,BC的中点。求线段MN的长。
(2) 若C为线段AB上一点,且满足$AC + BC = a$ cm,M,N分别为AC,BC的中点,试猜想MN的长度,并说明理由。
(3) 若点C在线段AB的延长线上,且满足$AC - BC = b$ cm,M,N分别为AC,BC的中点,试猜想MN的长度。请你先画出图形,再写出猜想,并说明理由。

答案：

(1) 因为 $ M $，$ N $ 分别为 $ AC $，$ BC $ 的中点，$ AC = 10 cm $，$ BC = 8 cm $，所以 $ CM = \frac{1}{2}AC = 5 cm $，$ CN = \frac{1}{2}BC = 4 cm $。所以 $ MN = CM + CN = 9 cm $。
(2) $ MN = \frac{1}{2}a cm $。理由：因为 $ M $，$ N $ 分别为 $ AC $，$ BC $ 的中点，所以 $ CM = \frac{1}{2}AC $，$ CN = \frac{1}{2}BC $。所以 $ MN = CM + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)=\frac{1}{2}a cm $。
(3) 如图所示。$ MN = \frac{1}{2}b cm $。理由：因为 $ M $，$ N $ 分别为 $ AC $，$ BC $ 的中点，所以 $ AM = MC = \frac{1}{2}AC $，$ CN = BN = \frac{1}{2}BC $。所以 $ MN = MC - CN = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC - BC)=\frac{1}{2}b cm $。