《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

19.(8分)已知整式$A= 2t+3,B= 2t-3$,t为任意有理数。
(1)$A\cdot B+13$的值可能为负数吗？请判断并说明理由。
(2)请通过计算说明：当t是整数时,$A^{2}-B^{2}$的值一定能被24整除。

答案：
(1) $ A \cdot B + 13 $ 的值不可能为负数. 理由: 因为 $ A \cdot B + 13 = ( 2 t + 3 ) ( 2 t - 3 ) + 13 = 4 t ^ { 2 } - 9 + 13 = 4 t ^ { 2 } + 4 $, 且 $ 4 t ^ { 2 } \geq 0 $, 所以 $ 4 t ^ { 2 } + 4 ＞ 0 $. 所以 $ A \cdot B + 13 $ 的值不可能为负数.
(2) $ A ^ { 2 } - B ^ { 2 } = ( 2 t + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 t - 3 ) ^ { 2 } = 24 t $. 因为 $ t $ 是整数, 所以 $ 24 t $ 一定能被 24 整除. 所以当 $ t $ 是整数时, $ A ^ { 2 } - B ^ { 2 } $ 的值一定能被 24 整除.

20.(8分)如图①,有一张长方形纸板,在它的四角各剪去一个大小相同的正方形,然后将四周的突出部分折起,制成一个高为a厘米的长方体无盖纸盒(如图②),这个纸盒的体积为$(2a^{2}b+ab^{2})$立方厘米,底面长方形的宽为b厘米。
(1)求这张长方形纸板的长。
(2)若在这个长方体无盖纸盒的外表面贴上一层红色包装纸,则这个纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸(不计损耗)？

答案：
(1) 因为 $ ( 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } ) ÷ ( a b ) = ( 2 a + b ) $ 厘米, 所以这张长方形纸板的长为 $ 2 a + b + a + a = ( 4 a + b ) $ 厘米.
(2) 因为 $ b ( 2 a + b ) + 2 a b + 2 a ( 2 a + b ) = 2 a b + b ^ { 2 } + 2 a b + 4 a ^ { 2 } + 2 a b = ( b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } + 6 a b ) $ 平方厘米, 所以这个纸盒需要用 $ ( b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } + 6 a b ) $ 平方厘米的红色包装纸.