《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

7. 新考向 数学文化 “今有五十鹿进舍,小舍容四鹿,大舍容六鹿,需舍几何?”(改编自《缉古算经》)大意如下:今有50只鹿进圈舍,小圈舍可以容纳4只鹿,大圈舍可以容纳6只鹿,求所需圈舍的间数.若恰好每间圈舍都能住满鹿,则求得的结果有 ()

A.3种
B.4种
C.5种
D.6种

答案： B 解析：设需要小圈舍 $ x $ 间，大圈舍 $ y $ 间。由题意，得 $ 4x + 6y = 50 $。因为 $ x $，$ y $ 均为非负整数，所以 $ \begin{cases} x = 11, \\ y = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 5 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 7. \end{cases} $ 所以求得的结果有 $ 4 $ 种。

8. (龙东地区中考)某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本(三种图书都要买),则此次采购的方案有 ()

A.5种
B.6种
C.7种
D.8种

答案： B 解析：当购买 $ 5 $ 本 $ A $ 种图书时，设购买 $ x $ 本 $ B $ 种图书，$ y $ 本 $ C $ 种图书。根据题意，得 $ 30×5 + 25x + 20y = 500 $，所以 $ x = 14 - \frac{4}{5}y $。又因为 $ x $，$ y $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 5 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 6, \\ y = 10 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 15. \end{cases} $ 所以当购买 $ 5 $ 本 $ A $ 种图书时，有 $ 3 $ 种采购方案。当购买 $ 6 $ 本 $ A $ 种图书时，设购买 $ m $ 本 $ B $ 种图书，$ n $ 本 $ C $ 种图书。根据题意，得 $ 30×6 + 25m + 20n = 500 $，所以 $ n = 16 - \frac{5}{4}m $。又因为 $ m $，$ n $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} m = 4, \\ n = 11 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 8, \\ n = 6 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 12, \\ n = 1. \end{cases} $ 所以当购买 $ 6 $ 本 $ A $ 种图书时，有 $ 3 $ 种采购方案。所以此次采购的方案有 $ 3 + 3 = 6 $（种）。

9. *阅读材料,然后解答问题:
我们知道,任何一个二元一次方程都有无数个解.但在实际问题中,我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解,即两个未知数均为非负整数的解.
例如:求$2x+3y= 12$的非负整数解时,由$2x+3y= 12$,得$y= \frac {12-2x}{3}= 4-\frac {2}{3}x$.因为x,y为非负整数,所以当$x= 0$时,$y= 4$;当$x= 3$时,$y= 2$;当$x= 6$时,$y= 0$.所以$2x+3y= 12的非负整数解为\left\{\begin{array}{l} x= 0,\\ y= 4,\end{array} \right. \left\{unitable2 \right. \left\{unitable3 \right. $
(1)已知$\left\{\begin{array}{l} x= -2,\\ y= 7\end{array} \right. 和\left\{unitable5 \right. $是关于x,y的二元一次方程$mx+ny= 8$的2个解.
①求m,n的值.
②请根据材料求出方程$mx+ny= 8$的所有非负整数解.
(2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球,从中摸到1个红球得3分,摸到1个白球得5分.某人摸球共得20分,那么摸到红球和白球的组合方式有____种.

答案：
(1) ① 将 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = 7 \end{cases} $ 和 $ \begin{cases} x = 6, \\ y = -5 \end{cases} $ 代入原方程，得 $ \begin{cases} -2m + 7n = 8, \\ 6m - 5n = 8, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 2. \end{cases} $ 所以 $ m $ 的值为 $ 3 $，$ n $ 的值为 $ 2 $。② 因为 $ 3x + 2y = 8 $，所以 $ y = 4 - \frac{3}{2}x $。因为 $ x $，$ y $ 为非负整数，所以当 $ x = 0 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = 1 $。所以 $ 3x + 2y = 8 $ 的非负整数解为 $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1. \end{cases} $
(2) 2. 解析：设摸到 $ a $ 个红球，$ b $ 个白球。根据题意，得 $ 3a + 5b = 20 $，所以 $ b = 4 - \frac{3}{5}a $。因为 $ a $，$ b $ 为非负整数，所以当 $ a = 0 $ 时，$ b = 4 $；当 $ a = 5 $ 时，$ b = 1 $。所以摸到红球和白球的组合方式有 $ 2 $ 种。
方法点金
解二元一次不定方程的一般步骤
(1) 将其中一个未知数用另一个未知数表示。
(2) 利用整除的性质，枚举符合方程的特殊解，或者先将表示后的代数式分离整数，再对剩余部分是整数的情况进行枚举讨论。

10. 某校七、八、九年级某月课外兴趣小组活动总时间统计如下表:
|年级|课外兴趣小组活动总时间/h|
|七年级|12.5|
|八年级|12|
|九年级|8.5|
其中,各年级文艺小组每次活动时间为2 h,各年级科技小组每次活动时间为1.5 h(每个年级两种兴趣小组都有,且仅有这两种兴趣小组).
(1)若七年级科技小组的活动次数比文艺小组的活动次数少1,请你用一元一次方程的知识分别求七年级科技小组与文艺小组的活动次数.
(2)八年级科技小组的活动次数为____.
(3)分别求九年级科技小组与文艺小组的活动次数.

答案：
(1) 设七年级科技小组的活动次数为 $ x $，则文艺小组的活动次数为 $ x + 1 $。由题意，得 $ 1.5x + 2(x + 1) = 12.5 $，解得 $ x = 3 $。所以 $ x + 1 = 4 $。所以七年级科技小组与文艺小组的活动次数分别为 $ 3 $ 和 $ 4 $。
(2) 4.
(3) 设九年级文艺小组的活动次数为 $ a $，科技小组的活动次数为 $ b $。由题意，得 $ 2a + 1.5b = 8.5 $，所以 $ b = \frac{17 - 4a}{3} $。又因为 $ a $，$ b $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = 3. \end{cases} $ 所以九年级科技小组与文艺小组的活动次数分别为 $ 3 $ 和 $ 2 $。