《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

12. 已知$x= \frac {y}{1-y}(y≠1)$.若用含x的代数式表示y,则$y= $____.

答案： $ \frac{x}{1 + x} $

13. 整体思想 若$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}= 2$,则$\frac {2x+xy+2y}{3x+5xy+3y}= $____.

答案： $ \frac{5}{11} $

14. (青岛中考)某校组织学生进行劳动实践活动,用1000元购买甲种劳动工具,用2400元购买乙种劳动工具,乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍,但单价贵了4元.设甲种劳动工具的单价为x元,则x满足的分式方程为____.

答案： $ \frac{2400}{x + 4} = 2 × \frac{1000}{x} $

15. 已知a,b为实数,且$ab= 1,a≠-1$,设$M= \frac {a}{a+1}+\frac {b}{b+1},N= \frac {1}{a+1}+\frac {1}{b+1}$,则M,N的大小关系为____.

答案： 解析：由题意，得 $ M - N = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} - \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1} = \frac{a - 1}{a + 1} + \frac{b - 1}{b + 1} = \frac{(a - 1)(b + 1) + (b - 1)(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \frac{2ab - 2}{(a + 1)(b + 1)} $。又因为 $ ab = 1 $，所以 $ M - N = 0 $。所以 $ M = N $。
方法点金
运用作差法比较两个数的大小
(1) 作差法是比较两个数的大小的常用方法：若比较两个数 $ M $，$ N $ 的大小，则判断 $ M - N $ 的正负即可。
① 若 $ M - N ＞ 0 $，则 $ M ＞ N $；② 若 $ M - N ＜ 0 $，则 $ M ＜ N $；③ 若 $ M - N = 0 $，则 $ M = N $。
(2) 若两个数作差的计算结果为常数，则直接判断该常数的正负即可；若两个数作差的计算结果为代数式，则需要判断该代数式的正负，常见的方法是利用完全平方式的非负性或根据题目的条件进行判断。

16. 新考向 代数推理 (眉山中考)已知$a_{1}= x+1(x≠0且x≠-1),a_{2}= \frac {1}{1-a_{1}},a_{3}= \frac {1}{1-a_{2}},... ,a_{n}= \frac {1}{1-a_{n-1}}$,则$a_{2025}$的值为____.

答案： 解析：因为 $ a_1 = x + 1 $，所以 $ a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (x + 1)} = -\frac{1}{x} $，$ a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})} = \frac{x}{x + 1} $。所以 $ a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1 $。所以 $ a_5 = -\frac{1}{x} $，$ a_6 = \frac{x}{x + 1} $，…。由上可得，每三个为一个循环。因为 $ 2025 ÷ 3 = 675 $，所以 $ a_{2025} = \frac{x}{x + 1} $。

17. (12分)计算：
(1)$\frac {m+1}{m^{2}}÷\frac {1+m}{(-m)^{3}}$.
(2)$\frac {2x}{x^{2}-9}+\frac {1}{3-x}$.
(3)$(\frac {4a-5}{a-1}-a-1)÷(\frac {1}{a-1}-\frac {2}{a^{2}-a})$.

答案：
(1) $ -m $。
(2) $ \frac{1}{x + 3} $。
(3) $ -a^2 + 2a $。
易错提示
分式的混合运算应注意的几个方面
① 注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。② 注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式。③ 注意运算律的运用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用运算律运算，可以简化运算过程。

18. (10分)解方程：
(1)(内蒙古中考)$\frac {3}{x-1}= 5+\frac {3x}{1-x}$.
(2)$\frac {2}{3}+\frac {x}{3x-1}= \frac {1}{9x-3}$.

答案：
(1) 原方程两边同乘 $ x - 1 $，得 $ 3 = 5(x - 1) - 3x $，去括号，得 $ 3 = 5x - 5 - 3x $，移项，合并同类项，得 $ -2x = -8 $，系数化为 1，得 $ x = 4 $。检验：将 $ x = 4 $ 代入 $ x - 1 $，得 $ 4 - 1 = 3 \neq 0 $，则原分式方程的解为 $ x = 4 $。
(2) 方程两边同乘 $ 9x - 3 $，得 $ 2(3x - 1) + 3x = 1 $，去括号，得 $ 6x - 2 + 3x = 1 $，移项、合并同类项，得 $ 9x = 3 $，解得 $ x = \frac{1}{3} $。经检验，$ x = \frac{1}{3} $ 是原方程的增根。所以原方程无解。
易错提示
解分式方程忘记检验导致错误
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母或除数为 0，因此要将整式方程的解代入最简公分母和除数，若最简公分母或除数的值不为 0，则是原方程的解。

19. (8分)(广安中考)先化简：$(a+1-\frac {3}{a-1})÷\frac {a^{2}+4a+4}{a-1}$,再从-2,0,1,2中选取一个适合的数作为a的值代入求值.

答案： 原式 $ = (\frac{a^2 - 1}{a - 1} - \frac{3}{a - 1}) \cdot \frac{a - 1}{a^2 + 4a + 4} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a + 2)^2} = \frac{a - 2}{a + 2} $。由题意，得 $ a \neq 1 $ 且 $ a \neq -2 $。当 $ a = 0 $ 时，原式 $ = \frac{0 - 2}{0 + 2} = -1 $；当 $ a = 2 $ 时，原式 $ = \frac{2 - 2}{2 + 2} = 0 $。